Kinematyka a geometria

[ropol]

Problem jest taki mamy dwa krążki jeden porusza się po podłożu stałym a drugi jest założony na linie tak jak na rysunkach poniżej, i teraz z obliczeń geometrycznych wynika że środek krążka poruszającego się po podłożu stałym przebędzie taką samą drogę co punkt K i to się zgadza bo nawet wyznaczyłem to empirycznie. Niestety próba obliczenia (uzależnienia) drogi punktu środka krążka a drogi punktu K przy pomocy kinematyki w tym przypadku (Przypadek 1) daje zupełnie inny wynik. Wynik (Przypadku 1)który otrzymuje z kinematyki jest zgodny ale dla krążka będącego zawieszonym na linie (Przypadek 2). Dla przypadku 2 natomiast zarówno kinematyczna jak i geometryczna droga jest taka sama i poprawna. Przez C oznaczyłem chwilowy środek obrotu. Teraz kwestia gdzie w kinematyce jest błąd, ktoś ma jakieś pomysły?




[url=http://wstaw.org/w/2Sjr/][/url]

[kruszewski]

Proszę napisać pełny i oryginalny tekst zadania.
Tu nie powinno być domysłów co, za co, w którym punkcie jest zahaczone, co się porusza a co jest stałe. Wiadomo, że ściana jest stała, ale jak co z liną? Gdzie ma początek i koniec?
W.Kr.

[ropol]

Lina jest oczywiście nierozciągliwa a krążek toczy się bez poślizgu. Oryginalnego tekstu zadania nie ma "zadanie" sam znalazłem jak zaczęły mi się nie zgadzać drogi wyznaczone na drodze kinematyki z drogami wyznaczonymi na drodze kinematyki. Może zacznijmy od początku jeśli krążek toczy mi się po stole to o ile (jaką drogę) przesunie się jego środek, jeśli punkt K przebędzie drogę Sk. Geometrycznie tak jak na pierwszym zdjęciu jeśli punkt K przebędzie droge Sk(ja ją tam oznaczyłem jako d) to jego środek przesunie się o tyle samo co wykazałem, jeśli jednak próbuje obliczyć to z kinematyki to otrzymuje to co na zdjęciu trzecim czyli droga środka krążka jest równa połowie drogi punktu K co jest nieprawdą.

[kruszewski]

A lina jednym końcem utwierdzona jest do krążka czy do ściany? Podejrzewam że do krążka.
Drugi koniec jest dowolnie daleko i pozwala linie na wysuwanie się jej przez oną dziurkę?
W.Kr.

[ropol]

tak dokładnie tak lina nawija się na krążek a z drugiej strony wysuwa

[kruszewski]

Proszę zauważyć, że problem można sformułować tak:
Wiotka i nierozciągliwa nić zwisająca pionowo dolnym końcem jest przymocowana do krążka który toczy się bez poślizgu po pionowej ścianie. Drugi koniec nici jest równoległy do ściany i luzowany tak, że prędkość nici w jej części pionowej jest równa v. ( Nić nawija się z prędkością liniową v).
Pytanie: z jaką prędkością względem ściany porusza się środek krążka, lub jaką drogę przebywa w jednostce czasu.

I proszę zauważyć, że zamiast pionowej ściany może być pozioma. Zamiast nici liniał przesuwający się z prędkością v bez poślizgu po krążku.
Z rysunku zauważamy równość odcinka liniału przetoczonego po krążku i łuku jaki odcina na krążku. Obie drogi lini0owe są więc sobie równe, prędkości styczne również. Stąd można określić kąt obrotu krążka \(\displaystyle{ \phi}\) w jednostce czasu, a stąd i prędkość kątową krążka. Z rysunku widać, że droga środka krążka jest proporcjonalna do kąta \(\displaystyle{ \phi}\), a przemieszczenie środka krążka \(\displaystyle{ S= v \cdot t}\)

W.Kr.

[ropol]

tak zdaje mi się że rozumiem to co Pan napisał ale dalej dręczy mnie pytanie gdzie jest błąd w tym rozumowaniu kinematycznym


C jest chwilowym środkiem obrotu
więc w tym przypadku prędkość punktu K będzie 2 razy większa niż środka krążka czyli punktu O

Prędkość środka krążka-punktu O

\(\displaystyle{ V_O= \frac{ds_o}{dt}}\)

gdzie \(\displaystyle{ s_O}\) droga punktu O

Prędkość punktu K

\(\displaystyle{ V_K= \frac{ds_k}{dt}}\)

gdzie \(\displaystyle{ s_k}\) droga punktu K

ponieważ \(\displaystyle{ V_k=2V_o}\) to

\(\displaystyle{ 2V_o=\frac{ds_k}{dt}}\)

teraz z powyższym równaniem zestawiam pierwsze w wyniku czego otrzymuje

\(\displaystyle{ 2\frac{ds_o}{dt}=\frac{ds_k}{dt}}\)

\(\displaystyle{ 2ds_o=ds_k}\)

\(\displaystyle{ \int_{}^{} 2ds_o= \int_{}^{} ds_k}\)

\(\displaystyle{ 2s_o=s_k}\)

[daras170]

Przecież to sa dwa różne łuki, tzn. o różnych promieniach ( D = 2r) więc ich długości też są w takiej samej proporcji.

[kruszewski]

Droga środka krążka jest odcinkiem prostej zaś droga punktu K jest krzywoliniowa. Jest częścią cykloidy. Zatem ich współrzędna wzdłuż ściany jest różna.Stąd nie można zapisać ich prostej proporcjonalności.
W.Kr.