Miara i suma nieprzeliczalna

[Wojteg]

Witam,

mam takie zadanko:

Niech \(\displaystyle{ T}\) będzie niepustym zbiorem liczb rzeczywistych, \(\displaystyle{ t_0=\sup T,t_0 \not\in T}\). Niech \(\displaystyle{ \left\{ A_t\right\}_{t \in T}}\) będzie rodziną zbiorów mierzalnych taką, że \(\displaystyle{ A_{t_1} \subset A_{t_2}}\) dla \(\displaystyle{ $t_1<t_2}\). Udowodnić, że zbiór \(\displaystyle{ \bigcup_{t \in T} A_t}\) jest mierzalny oraz
\(\displaystyle{ \[\mu( \bigcup_{t \in T} A_t) = \lim_{t \to t_0} \mu(A_t)\]}\)

Nie bardzo wiem jak mam rozumieć tę sumę zbiorów gdy zbiór \(\displaystyle{ T}\) jest nieprzeliczalny. Będę wdzięczny za wytłumaczenie mi tego

[rafalpw]

Istnieje ciąg \(\displaystyle{ t_n}\) elementów z \(\displaystyle{ T}\) zbieżny monotonicznie do \(\displaystyle{ t_0}\). Wtedy
\(\displaystyle{ \bigcup_{t \in T} A_t=\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_{t_n}}\).

\(\displaystyle{ x\in \bigcup_{t \in T} A_t \Leftrightarrow \exists_{t_1 \in T} \quad x \in A_{t_1}}\)

[Wojteg]

Ok, dzisiaj znalazłem trochę czasu i poddam weryfikacji moje wnioski

Oznaczmy rodzinę o której mowa w zadaniu przez \(\displaystyle{ \mathfrak{M}}\).
Istnieje ciąg \(\displaystyle{ t_n}\) elementów z \(\displaystyle{ T}\) zbieżny monotonicznie do \(\displaystyle{ t_0}\) i mamy \(\displaystyle{ \bigcup_{t \in T} A_t = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_{t_n}}\).
Zatem \(\displaystyle{ \bigcup_{t \in T} A_t \in \mathfrak{M}}\).
Teraz \(\displaystyle{ \mu \left(\bigcup_{t \in T} A_t \right) = \mu \left( \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_{t_n} \right) = \lim_{n \to \infty } \mu \left( A_{t_n} \right)}\), bo jest to suma zbiorów wstępujących.

Ostatecznie \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \mu\left(A_{t_n}\right) = \lim_{t \to t_0} \mu\left(A_{t}\right)}\)

Czy dobrze?

[rafalpw]

Tak.