Składanie ruchów

[Kubaniec]

Witam Was, bardzo serdecznie. Mam problem z zadaniem, oto treść:

Po rzece płynie łódka ze stałą względem wody prędkością \(\displaystyle{ V_{1}}\), prostopadłą do kierunku prądu. Woda w rzece płynie wszędzie równolegle do brzegów, ale wartość jej prędkości \(\displaystyle{ V _{2}}\) zależy od odległości y od brzegu i dana jest wzorem:
\(\displaystyle{ V_{2}=V_{0} \sin \frac{ \pi y}{L}}\)

\(\displaystyle{ V _{o} , L}\) -stałe
L-szerokość rzeki

Znajdź:
Kształt toru łódki
odległośc na jaką woda zniosła łódkę w dół rzeki


Oczywiście zaczynam od rysunku, przyjmuję osie x,y, gdzie początek układu to miejsce w którym starrtuje moja łódka. Prędkość V1 jest prostopadła do osi oy, a prędkość V2 jest prostopadłą do osi ox, rysuję V jako przeciwprostokątną.

\(\displaystyle{ V= \sqrt{V1 ^{2} +V2 ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ V= \sqrt{V1 ^{2} +Vo ^{2}\sin ^{2} ( \frac{ \pi y}{L}) }}\)

wyznaczam równania ruchu tj.
\(\displaystyle{ x(t)=x}\)
\(\displaystyle{ y(t)=y}\)
warunki początkowe
\(\displaystyle{ x(0)=0}\)
\(\displaystyle{ y(0)=0}\)

\(\displaystyle{ y=V1t}\)

no i nie wiem co dalej, jak wyznaczyć x oraz odległość na jaką dotarła łódka

[Igor V]

Przyjmuję oznaczenia ,żeby było lepiej widać \(\displaystyle{ v_1=v_y}\) ,\(\displaystyle{ v_2=v_x}\)

\(\displaystyle{ v_x(t)=v_{0} \sin \left(\frac{ \pi y}{L}\right)=v_{0} \sin \left(\frac{ \pi v_y t}{L}\right)}\)
\(\displaystyle{ x(t)= \int v_x(t) \mbox{d}t =\int v_{0} \sin \left(\frac{ \pi v_y t}{L}\right)\mbox{d}t}\)
\(\displaystyle{ u= \frac{v_y\pi t}{L} \Rightarrow \mbox{d}t= \frac{L}{v_y\pi} \mbox{d}u}\)
\(\displaystyle{ x(u)= \frac{v_0 L}{v_y\pi}\int \sin(u)\mbox{d}u=-\frac{v_0 L}{v_y\pi}\cos(u)+C}\)
\(\displaystyle{ x(t)=-\frac{v_0 L}{v_y\pi}\cos\left(\frac{v_y\pi t}{L}\right)+C}\)

Stałą całkowania wyliczysz tak jak napisałeś z warunków początkowych.Tor wyznaczysz z kolei robiąc podstawienie za czas.Natomiast punkt przecięcia się wykresu \(\displaystyle{ y(x)}\) z "brzegiem" to będzie to miejsce ,gdzie łódź została zniesiona.

[Kubaniec]

nie rozumiem czemu scałkowaliśmy

[kalwi]

Jak masz ruch jednostajny prostoliniowy, to wtedy \(\displaystyle{ x(t)=v_x \cdot t+x_0}\) -> czyli pole pod wykresem się zmienia w zależności od czasu. Polem tym jest prostokąt, więc wyznaczenie go jest trywialne.
Jak masz ruch przyspieszony prostoliniowy, to wtedy \(\displaystyle{ x(t)= \frac{at^2}{2}+x_0}\). Tutaj polem jest trójkąt, więc nadal jest prosto.
W tym zadaniu polem będzie coś sinusoidalnego, więc tu trywialnie tak nie jest. Stąd scałkowanie. W taki sposób się takie zadania robi.

PS. Miałem to zadanie na pierwszym kolosie na fizyce na 1 semie

[daras170]

wyznaczam równania ruchu tj.
\(\displaystyle{ x(t)=x}\)
\(\displaystyle{ y(t)=y}\)

to nie są r-nia ruchu
masz składowe prędkości: \(\displaystyle{ v_x = \frac{dx}{dt}}\) \(\displaystyle{ v_y = \frac{dy}{dt}}\) to są r-nia różniczkowe 1 rzędu,
więc żeby wyznaczyć x(t) i y(t) należy rozdzielić zmienne i scałkować wykorzystując w-ki początkowe: x(0) = 0 i y(0) = 0.

[Igor V]

Kubaniec, tak jak powiedział kalwi i daras170 , przy czym by to interpretować jako pole (a właściwie ewentualnie różnicę pól) musisz mieć całkę oznaczoną..Po prostu korzystasz z definicji prędkości :\(\displaystyle{ \vec{v}(t)= \frac{ \mbox{d} \vec{r}(t) }{ \mbox{d}t }}\)

PS. Miałem to zadanie na pierwszym kolosie na fizyce na 1 semie

Dobrze wiedzieć

[AiDi]

(a właściwie ewentualnie różnicę pól)

Właściwie to zawsze różnicę pól, jeśli mówić 100% ściśle o prędkości jako wektorze (tak, zawiera się w tym samo "pole", jeśli pod osią x nie ma nic) Zadanie typowe na kolokwia, więc warto sobie przyswoić Choć ja to zadanie miałem przerabiane na ćwiczeniach.

[Igor V]

AiDi, no chodziło mi właśnie o to jak zmienia się kierunek wektora to po prostu z definicji.Ale jak się nie zmienia to odejmuje się de facto \(\displaystyle{ 0}\) ,więc mamy po prostu pole

BTW :Ćwiczenia jak ćwiczenia ,zapewne najciekawsze jest kolokwium

[kruszewski]

Zadanie w części przypomina problem rozkładu prędkości przepływu wody w chropowatym korycie.
W załączniku szkic rozkładu prędkości dla zadanych :
szerokości koryta L, prędkości przeplywu (płynięcia) w linii środkowej (osi) koryta i zależności :
\(\displaystyle{ V_x=V_o \cdot sin \frac{ \pi y}{L}}\) co pozwala na zauważenie, że kąt jest proporcjonalny do odległości linii strugi od brzegu koryta.

W.Kr.

[Kubaniec]

ok, rozumiem, wyliczyłem stałą całkowania, teraz mam taką postać

\(\displaystyle{ x(t)= \frac{VoL}{V1 \pi } [1-\cos( \frac{V1 \pi t}{L} )]}\)

w odpowiedzi jest przekształcone do postaci

\(\displaystyle{ \frac{2VoL}{ \pi V1}\sin^{2}( \frac{V1 \pi t}{2L}}\)
i chyba coś przeoczyłem na matematyce, bo nie rozumiem skąd się wzięła taka postać z sinusem w kwadracie

proszę mi jeszcze powiedzieć jak obliczyć jak daleko prąd zniósł łódkę w dół rzeki

[kalwi]

\(\displaystyle{ \cos2x=\cos^2x-\sin^2x=1-2\sin^2x \Rightarrow 1-\cos2x=2\sin^2x}\)

[kruszewski]

Już Koledzy podpowiedzieli. Zatem wycofałem swój list.
W.Kr.

[Igor V]

Wykorzystano tożsamość \(\displaystyle{ 1-\cos(x)=2\sin^2\left( \frac{x}{2}\right)}\)

-- 3 sie 2014, o 14:28 --

kalwi i kruszewski wyprzedzili mnie-- 3 sie 2014, o 14:34 --Natomiast co do drugiego pytania ,to jak masz \(\displaystyle{ y(x)}\) , piszesz "równanie" brzegu (funkcja stała) i patrzysz w jakim punkcie się te wykresy przetną.