Oblicz pole obszaru D

[SPQR_94]

Tak jak podałam w temacie, zadanie z którym mam problem, dotyczy obliczania pola obszaru za pomocą całki podwójnej. Obszar, o którym mowa w zadaniu to położona w I ćwiartce część koła:
\(\displaystyle{ (x-1)^{2}+(y-1)^{2} \le 2}\)
Kompletnie nie mam pojęcia, jakie wybrać tutaj granice całkowania i czy powinnam przechodzić na współrzędne biegunowe.

[Ser Cubus]

Jeżeli całkujesz to pole to zdecydowanie przejdź na wsp. biegunowe. Jak zmienia się x a jak y?

[SPQR_94]

Czyli...?
\(\displaystyle{ x=rcos \alpha \\ y=rsin \alpha \\ J=r \\ 0 \le \alpha \le \frac{ \pi }{2} \\ ... \le r \le \sqrt{2}}\)
Nie wiem, jak z jednej strony ograniczyć promień w tym wypadku :/

[miodzio1988]

Polecam zastosować przesunięte wspolrzedne biegunowe

[SPQR_94]

Przy przesuniętych to już całkiem nie wiem, jak sobie poradzić...

[bartek118]

Przesunięte, czyli
\(\displaystyle{ x-1 = r \cos \alpha \\
y-1 = r \sin \alpha}\)
No a promień jest taki: \(\displaystyle{ r \in (0, \sqrt{2}]}\)

[SPQR_94]

Aaaa... No i wszystko jasne Tak obstawiałam, że promień z drugiej strony będzie ograniczało 0, ale nie byłam tego pewna!
Wielkie dzięki za pomoc!

P.S. Czy przy zastosowaniu takich przesuniętych współrzędnych biegunowych jakobian wynosi r?

[bartek118]

P.S. Czy przy zastosowaniu takich przesuniętych współrzędnych biegunowych jakobian wynosi r.

Przelicz dla pewności, jako proste ćwiczenie

[miodzio1988]

P.S. Czy przy zastosowaniu takich przesuniętych współrzędnych biegunowych jakobian wynosi r?

Zgadza się

[SPQR_94]

Mam jeszcze jedno pytanie... Zastanawiam się, czy przy przechodzeniu na współrzędne biegunowe przesunięte nie powinnam jakoś zmienić zakresu, do którego należy \(\displaystyle{ \alpha}\)?
Czy zakres \(\displaystyle{ 0 \le \alpha \le \frac{ \pi }{2}}\) jest nadal aktualny?

[miodzio1988]

Wtedy kąt bierzemy "pelny"

[Lider_M]

Przesunięte, czyli
\(\displaystyle{ x-1 = r \cos \alpha \\
y-1 = r \sin \alpha}\)
No a promień jest taki: \(\displaystyle{ r \in (0, \sqrt{2}]}\)

Złe ograniczenie na promień gdy przyjmiemy, że kąt jest "pełny", w przypadku tych współrzędnych tak prosto nie będzie.

Według mnie lepiej zastosować standardowe współrzędne biegunowe i wtedy ograniczenie na promień bierzemy z warunku \(\displaystyle{ (x-1)^2+(y-1)^2\leqslant 2}\).

[bartek118]

Przesunięte, czyli
\(\displaystyle{ x-1 = r \cos \alpha \\
y-1 = r \sin \alpha}\)
No a promień jest taki: \(\displaystyle{ r \in (0, \sqrt{2}]}\)

Złe ograniczenie na promień gdy przyjmiemy, że kąt jest "pełny", w przypadku tych współrzędnych tak prosto nie będzie.

Według mnie lepiej zastosować standardowe współrzędne biegunowe i wtedy ograniczenie na promień bierzemy z warunku \(\displaystyle{ (x-1)^2+(y-1)^2\leqslant 2}\).

Myślę, że na jedno wychodzi właściwie; i tak trzeba uważać przy przecięciach z osiami.

[Lider_M]

Tylko w przypadku standardowych biegunowych mamy ograniczenia \(\displaystyle{ 0\leqslant\varphi\leqslant\frac{\pi}{2},0\leqslant r\leqslant 2(\cos\varphi+\sin\varphi)}\), a w przypadku przesuniętych będą o wiele trudniejsze.

[a4karo]

Dyskusja ze wszech miar pożyteczna, ale czy ktoś z dyskutujących narysował ten obszar? PO narysowaniu widać, że nie potrzeba żadnych całek, żeby wyliczyć pole.

A jeżeli już koniecznie musimy całkować, to najłatwiej policzyć pole kołą i odjąć od niego 2 razy pole kawałka koła, które leży pod osią OX. To całkuje sie dość prosto.