Twierdzenie Poincarego o powrotach a rozkład pierwszych cyfr

[ares41]

Rozważmy funkcję \(\displaystyle{ f:RR^{NN} imes A^2
ightarrow [0,+infty)}\) daną przez \(\displaystyle{ f\left(\left\{x_n\right\},\alpha,\beta\right)=k}\), gdy \(\displaystyle{ \alpha}\) występuje w ciągu \(\displaystyle{ \left\{x_n\right\}}\) \(\displaystyle{ k}\)-razy częściej niż \(\displaystyle{ \beta}\). Jeśli ciąg \(\displaystyle{ \left\{x^0_n\right\}}\) jest ustalony, to definiujemy \(\displaystyle{ g^0:A^2
ightarrowleft[0,+infty)}\) przez \(\displaystyle{ g^0(\alpha,\beta)=f\left(\left\{x_n^0\right\},\alpha,\beta\right)}\).

Zdefiniujmy ciąg: \(\displaystyle{ x_n=}\) pierwsza cyfra liczby \(\displaystyle{ 2^n}\).
Należy naszkicować wykres funkcji \(\displaystyle{ g^0}\).

W zadaniu należy skorzystać z tw. Poincarego o powrotach.

[a4karo]

Ponieważ \(\displaystyle{ \log_{10} 2}\) jest liczbą niewymierną, to ciąg \(\displaystyle{ \{n\log_{10} 2\}}\) jest równomiernie rozłożony w odcinku \(\displaystyle{ (0,1)}\) (\(\displaystyle{ \{\}}\) oznacza część ułamkową). Pierwszą cyfra liczby \(\displaystyle{ 2^n}\) jest \(\displaystyle{ a}\) gdy \(\displaystyle{ \log_{10}a\leq\{ n\log_{10} 2\}<\log_{10} (a+1)}\). Dalej pomęcz się sam

[ares41]

Dzięki ! Nie pomyślałem, żeby bawić się taką nierównością