[Analiza] Trochę o funkcji dzeta Riemanna

[Marcinek665]

Funkcję dzeta wiadomo jak definiujemy: \(\displaystyle{ \zeta (\alpha) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha}}}\).

Udowodnić następującą tożsamość:

\(\displaystyle{ \zeta (2) \zeta (2n-2) + \zeta (4) \zeta (2n-4) + \ldots + \zeta (2n-2) \zeta (2) = \left(n + \frac{1}{2} \right) \zeta (2n)}\)

Wiedząc, że \(\displaystyle{ \zeta (2) = \frac{\pi^2}{6}}\), obliczyć na tej podstawie \(\displaystyle{ \zeta (4)}\), \(\displaystyle{ \zeta (6)}\)

[ares41]

Ukryta treść:    

Pierwsza część: G.T. Williams, Amer. Math. Monthly, 60(1953), str. 19-25

Druga część: Kładąc z powyższym wzorku kolejno \(\displaystyle{ n=2, n=3}\) dostajemy, po przekształceniach,:
\(\displaystyle{ \zeta(4)=\frac{2}{5}\zeta(2)^2 =\frac{\pi^4}{90}\\ \zeta(6)=\frac{4}{7}\zeta(2)\zeta(4)=\frac{\pi^6}{945}}\)

[Spektralny]

Funkcję dzeta wiadomo jak definiujemy: \(\displaystyle{ \zeta (\alpha) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha}}}\).

Funkcję \(\displaystyle{ \zeta}\) definiujemy jako analityczne przedłużenie tego co napisałeś wyżej.