Długość rzutu wektora na prostą
-
- Użytkownik
- Posty: 106
- Rejestracja: 6 kwie 2014, o 12:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wejherowo
- Podziękował: 41 razy
Długość rzutu wektora na prostą
W układzie \(\displaystyle{ Oxy}\) mamy daną dowolną prostą \(\displaystyle{ l}\) która tworzy z osiami układu kąty kierunkowe \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) oraz wektor \(\displaystyle{ F=[X,Y]}\) którego początek jest zaczepiony na dowolnym pkt. prostej \(\displaystyle{ l}\). Jak udowodnić, że długość rzutu wektora\(\displaystyle{ F}\) na prostą \(\displaystyle{ l}\) jest równy \(\displaystyle{ X\cos \alpha+Y\cos \beta}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 106
- Rejestracja: 6 kwie 2014, o 12:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wejherowo
- Podziękował: 41 razy
Długość rzutu wektora na prostą
Niestety dalej nie wiem jak to udowodnić. Wychodzą mi na rysunku różne trójkąty prostokątne ale nie potrafię z tego nic wywnioskować. Chciałem wrzucić obrazek ale wyskakuje mi komunikat:"Określenie wymiarów obrazka nie było możliwe." Proszę o dalsze podpowiedzi.
-
- Użytkownik
- Posty: 106
- Rejestracja: 6 kwie 2014, o 12:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wejherowo
- Podziękował: 41 razy
Długość rzutu wektora na prostą
Poczytałem ale dalej nie wiem jak to zrobić. Proszę o jakąś bardziej konkretną podpowiedź.
- AiDi
- Moderator
- Posty: 3843
- Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 45 razy
- Pomógł: 702 razy
Długość rzutu wektora na prostą
Bardziej konkretna jest taka, że prosta jest wyznaczona przez wektor, np. o długości 1. Możemy wyznaczyć współrzędne tego wektora korzystając z kanonicznego iloczynu skalarnego na płaszczyźnie - obliczając iloczyn z wersorem w kierunku \(\displaystyle{ x}\) i wersorem w kierunku \(\displaystyle{ y}\). Dalej wystarczy zauważyć, że długość rzutu wektora na prostą jest równa iloczynowi skalarnemu tego wektora z unormowanym wektorem kierunkowym tej prostej.
-
- Użytkownik
- Posty: 106
- Rejestracja: 6 kwie 2014, o 12:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wejherowo
- Podziękował: 41 razy
Długość rzutu wektora na prostą
Czyli mamy:
\(\displaystyle{ F=[X,Y]}\) i \(\displaystyle{ V=[\cos \alpha,\cos \beta]}\)
\(\displaystyle{ F \circ V =[X,Y] \circ [\cos \alpha,\cos \beta] = X\cos \alpha+Y\cos \beta}\) ,gdzie \(\displaystyle{ \alpha+\beta = \frac{\pi}{2}}\)
Z drugiej strony mamy:
\(\displaystyle{ F \circ V =|F| \cdot |V| \cdot \cos (F,V) = \sqrt{\cos^2 \alpha +\cos^2 \beta} \cdot |F| \cdot \frac{F_{V}}{|F|}= F_{V}}\)
(gdzie \(\displaystyle{ F_{V}}\) jest miarą rzutu wektora\(\displaystyle{ F}\) na oś wektora \(\displaystyle{ V}\)).
Ale teraz to właściwie to problem jest z tym, że nie wiem dlaczego prawdziwa jest równość:
\(\displaystyle{ U\circ V = |U| \cdot |V|\cos (F,V)}\)
Myślę że trzeba wyjść z definicji czyli
\(\displaystyle{ U\circ V = [u_{1},u_{2}]\circ[v_{1},v_{2}] =u_{1} \cdot v_{1} +u_{2} \cdot v_{2}}\)
no ale nie wiem jak to dalej udowodnić.
\(\displaystyle{ F=[X,Y]}\) i \(\displaystyle{ V=[\cos \alpha,\cos \beta]}\)
\(\displaystyle{ F \circ V =[X,Y] \circ [\cos \alpha,\cos \beta] = X\cos \alpha+Y\cos \beta}\) ,gdzie \(\displaystyle{ \alpha+\beta = \frac{\pi}{2}}\)
Z drugiej strony mamy:
\(\displaystyle{ F \circ V =|F| \cdot |V| \cdot \cos (F,V) = \sqrt{\cos^2 \alpha +\cos^2 \beta} \cdot |F| \cdot \frac{F_{V}}{|F|}= F_{V}}\)
(gdzie \(\displaystyle{ F_{V}}\) jest miarą rzutu wektora\(\displaystyle{ F}\) na oś wektora \(\displaystyle{ V}\)).
Ale teraz to właściwie to problem jest z tym, że nie wiem dlaczego prawdziwa jest równość:
\(\displaystyle{ U\circ V = |U| \cdot |V|\cos (F,V)}\)
Myślę że trzeba wyjść z definicji czyli
\(\displaystyle{ U\circ V = [u_{1},u_{2}]\circ[v_{1},v_{2}] =u_{1} \cdot v_{1} +u_{2} \cdot v_{2}}\)
no ale nie wiem jak to dalej udowodnić.
- AiDi
- Moderator
- Posty: 3843
- Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 45 razy
- Pomógł: 702 razy
Długość rzutu wektora na prostą
Nie wiem czy jest konieczne udowodnienie tego, gdyż jest to na tyle standardowa równość, że raczej nikt tego w zadaniach nie wymaga W szkole średniej tak się definiuje iloczyn skalarny. A jak bardzo potrzebujesz to znajdziesz to pewnie na wikipedii.tadu983 pisze: Ale teraz to właściwie to problem jest z tym, że nie wiem dlaczego prawdziwa jest równość:
\(\displaystyle{ U\circ V = |U| \cdot |V|\cos (F,V)}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 106
- Rejestracja: 6 kwie 2014, o 12:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wejherowo
- Podziękował: 41 razy
Długość rzutu wektora na prostą
No ale ja nie widzę równości pomiędzy:
\(\displaystyle{ U\circ V = |U| \cdot |V|\cos (F,V)}\) a
\(\displaystyle{ U\circ V = [u_{1},u_{2}]\circ[v_{1},v_{2}] =u_{1} \cdot v_{1} +u_{2} \cdot v_{2}}\)
Na wikipedii nie ma tego dowodu no i w sumie nigdzie nie mogę go znaleźć. Wiem że jestem upierdliwy ale jeszcze poproszę o ten dowód.
\(\displaystyle{ U\circ V = |U| \cdot |V|\cos (F,V)}\) a
\(\displaystyle{ U\circ V = [u_{1},u_{2}]\circ[v_{1},v_{2}] =u_{1} \cdot v_{1} +u_{2} \cdot v_{2}}\)
Na wikipedii nie ma tego dowodu no i w sumie nigdzie nie mogę go znaleźć. Wiem że jestem upierdliwy ale jeszcze poproszę o ten dowód.
- AiDi
- Moderator
- Posty: 3843
- Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 45 razy
- Pomógł: 702 razy
Długość rzutu wektora na prostą
Czyżby.tadu983 pisze: Na wikipedii nie ma tego dowodu no i w sumie nigdzie nie mogę go znaleźć.
Sekcja "interpretacja geometryczna".
-
- Użytkownik
- Posty: 106
- Rejestracja: 6 kwie 2014, o 12:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wejherowo
- Podziękował: 41 razy
Długość rzutu wektora na prostą
Faktycznie jest przeoczyłem.
Chciałem tylko jeszcze się zapytać jak udowodnić wzór na rzut wektora \(\displaystyle{ F =[X,Y,Z]}\) w przestrzeni na prostą \(\displaystyle{ l}\). Powinien wynosić \(\displaystyle{ X\cos \alpha+Y\cos \beta +Z\cos \gamma}\). Myślałem że jak będę miał sposób na udowodnienie tego na płaszczyźnie to przeniosę to na 3D . Ale tutaj chyba się nie da bo pierwiastek z kwadratów 3 cosinusów nie będzie wynosił 1. Jeszcze raz proszę o pomoc.
Chciałem tylko jeszcze się zapytać jak udowodnić wzór na rzut wektora \(\displaystyle{ F =[X,Y,Z]}\) w przestrzeni na prostą \(\displaystyle{ l}\). Powinien wynosić \(\displaystyle{ X\cos \alpha+Y\cos \beta +Z\cos \gamma}\). Myślałem że jak będę miał sposób na udowodnienie tego na płaszczyźnie to przeniosę to na 3D . Ale tutaj chyba się nie da bo pierwiastek z kwadratów 3 cosinusów nie będzie wynosił 1. Jeszcze raz proszę o pomoc.
- AiDi
- Moderator
- Posty: 3843
- Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 45 razy
- Pomógł: 702 razy
Długość rzutu wektora na prostą
Ale nie musisz żadnych kwadratów cosinusów obliczać Długość rzutu wektora na prostą, jest równa iloczynowi skalarnemu tego wektora i jednostkowego wektora wyznaczającego prostą. Wektor ten zadany jest przez trzy cosinusy, drugi też masz zadany, więc z definicji mnożysz współrzędne przez siebie. Itd. Nic więcej nie musisz robić, to twoje "z drugiej strony mamy" w powyższym poście potrzebne nie było
-
- Użytkownik
- Posty: 106
- Rejestracja: 6 kwie 2014, o 12:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wejherowo
- Podziękował: 41 razy
Długość rzutu wektora na prostą
Napisałeś, że
No ale właśnie chcę zrozumieć dlaczego tak jest. Już wiem że jest tak na płaszczyźnie (bo powiedziałeś jak to udowodnić ), ale nie wiem czy zachodzi to w przestrzeni (bo nie mogę przenieść sposobu dowodzenia z 2D do 3D ).
Ok.Już kumam. Wielkie dzięki za pomoc.
.Długość rzutu wektora na prostą, jest równa iloczynowi skalarnemu tego wektora i jednostkowego wektora wyznaczającego prostą
No ale właśnie chcę zrozumieć dlaczego tak jest. Już wiem że jest tak na płaszczyźnie (bo powiedziałeś jak to udowodnić ), ale nie wiem czy zachodzi to w przestrzeni (bo nie mogę przenieść sposobu dowodzenia z 2D do 3D ).
Ok.Już kumam. Wielkie dzięki za pomoc.