Wartości własne i wektory własne operatora

[liebell]

Wyznacz wartości własne i wektory własne operatora
\(\displaystyle{ T: l^1 \rightarrow l^1}\)
\(\displaystyle{ T\left( x_1,x_2,...\right)=\left( 0,x_1,0, \frac{x_3}{3},0, \frac{x_5}{5},... \right)}\)
Pomożecie?

\(\displaystyle{ \lambda x_1=0
\\ \lambda x_2=x_1
\\ \lambda x_3=0
\\ \lambda x_4= \frac{x_3}{3}
\\ \lambda x_5=0
\\ \lambda x_6= \frac{x_5}{5}}\)
i tak dalej.
Czy to oznacza że \(\displaystyle{ \lambda = 0}\) wtedy wektor własny \(\displaystyle{ x=\left( 0,0,...\right)}\). Czyli nie istnieją wartości własne i wektory własne tego operatora???

[robertm19]

Tak \(\displaystyle{ \lambda =0}\) ale z tymi wektorami to pomyśl jeszcze.
\(\displaystyle{ x_1}\) dowolny, ale \(\displaystyle{ 0x_2=x_1}\) stąd \(\displaystyle{ x_1=}\) oraz \(\displaystyle{ x_2}\) dowolne itd.