Czy mógłby mi ktoś łopatologicznie wytłumaczyć co tutaj się dzieje ? Jakie wzory zostały tutaj użyte?
\(\displaystyle{ A \cup (B \setminus C) = \left( \left( A \cup B\right) \setminus C \right) \cup \left( A \cap C\right)}\)
\(\displaystyle{ P= \left( \left( A \cup B\right) \setminus C \right) \cup \left( A \cap C \right)=\left( \left( A \cup B\right) \cap C' \right) \cup \left( A \cap C \right)=}\) \(\displaystyle{ = \left( A \cap C' \right) \cup \left( B \cap C' \right) \cup \left( A \cap C \right)=\left( B \cap C' \right) \cup \left( A \cap C' \right) \cup \left( A \cap C \right)=}\) \(\displaystyle{ =\left( B \cap C' \right) \cup \left( A \cap \left( C \cup C' \right) \right)=\left( B \cap C' \right) \cup A=A \cup \left( B \setminus C \right)=L}\)
Dobra, powyższy przykład już rozkminiłem, ale tego nie mogę.
\(\displaystyle{ \left( A \setminus B\right) \cup \left( B \setminus A\right)=\left( A \cup B \right) \setminus \left( B \cap A\right)}\)
\(\displaystyle{ P=\left( A \cup B \right) \setminus \left( B \cap A\right)=\left( A \cup B \right) \cap \left( B \cap A\right)'=\left( A \cup B\right) \cap \left( B' \cup A'\right)=\left( A \cap B'\right) \cup \left( B \cap A'\right) = \left( A \setminus B\right) \cup \left( B \setminus A\right) = L}\)
\(\displaystyle{ \left( \left( A \cup B\right) \setminus C \right) \cup \left( A \cap C \right)=\left( \left( A \cup B\right) \cap C' \right) \cup \left( A \cap C \right)}\)
Zachodzi taka oto tożsamość \(\displaystyle{ X \setminus Y = X\cap Y'}\). \(\displaystyle{ \left( \left( A \cup B\right) \cap C' \right) \cup \left( A \cap C \right) = \left( A \cap C' \right) \cup \left( B \cap C' \right) \cup \left( A \cap C \right)}\)
Iloczyn jest rozdzielny względem sumy. \(\displaystyle{ \left( A \cap C' \right) \cup \left( B \cap C' \right) \cup \left( A \cap C \right)=\left( B \cap C' \right) \cup \left( A \cap C' \right) \cup \left( A \cap C \right)}\)
Tu korzystamy z przemienności sumy. \(\displaystyle{ \left( B \cap C' \right) \cup \left( A \cap C' \right) \cup \left( A \cap C \right)=\left( B \cap C' \right) \cup \left( A \cap \left( C \cup C' \right) \right)}\)
Teraz łączność i znowu rozdzielność, tylko w drugą stronę. \(\displaystyle{ \left( B \cap C' \right) \cup \left( A \cap \left( C \cup C' \right) \right)=\left( B \cap C' \right) \cup A}\)
Suma zbioru i jego dopełnienia jest równa całej przestrzeni, a część wspólna przestrzeni i danego jej zbioru jest równa temu zbiorowi. \(\displaystyle{ \left( B \cap C' \right) \cup A=A \cup \left( B \setminus C \right)}\)
Korzystamy z tej samej tożsamości co na początku i z przemienności sumy.
\(\displaystyle{ \left( A \cup B \right) \setminus \left( B \cap A\right)=\left( A \cup B \right) \cap \left( B \cap A\right)'}\)
Ta sama tożsamość co wyżej została użyta. \(\displaystyle{ \left( A \cup B \right) \cap \left( B \cap A\right)'=\left( A \cup B\right) \cap \left( B' \cup A'\right)}\)
Drugie prawo de Morgana. \(\displaystyle{ \left( A \cup B\right) \cap \left( B' \cup A'\right)= \left[ \left( \left( A \cup B\right) \cap B'\right) \cup \left( \left( A \cup B\right) \cap A'\right) \right] = \\ = \left[ \left( \left( A \cap B'\right) \cup \left( B \cap B'\right)\right) \cup \left( \left( A \cap A'\right) \cup \left( B \cap A'\right)\right) \right] =\left( A \cap B'\right) \cup \left( B \cap A'\right)}\)
W środku dodałem dwa przekształcenia, żeby to było lepiej widoczne. Dwa razy korzystamy z rozdzielności oraz tego, że dany zbiór i jego dopełnienie są rozłączne. \(\displaystyle{ \left( A \cap B'\right) \cup \left( B \cap A'\right) = \left( A \setminus B\right) \cup \left( B \setminus A\right)}\)
Znowu ta sama tożsamość.
Kaf pisze:
Drugie prawo de Morgana. \(\displaystyle{ \left( A \cup B\right) \cap \left( B' \cup A'\right)= \left[ \left( \left( A \cup B\right) \cap B'\right) \cup \left( \left( A \cup B\right) \cap A'\right) \right] = \\ = \left[ \left( \left( A \cap B'\right) \cup \left( B \cap B'\right)\right) \cup \left( \left( A \cap A'\right) \cup \left( B \cap A'\right)\right) \right] =\left( A \cap B'\right) \cup \left( B \cap A'\right)}\)
Chcesz powiedzieć, że zastosowałeś ten wzór?
\(\displaystyle{ \left( A \cup B\right)'=A \cap B'}\)
Patrze się na to od 30 min i za cholerę nie mogę tego rozkminić... Najbardziej dziwi mnie rozbicie tego nawiasu (coś ala wymnożone przez siebie)
Jest gdzieś wzór, który to opisuje?
Coś znalazłem, ale nie jestem pewny na 100%, że to to.
Rozdzielność mnożenia zbiorów względem dodawania ?
Myślę, że sebool12 najzwyczajniej w świecie zapomniał dopisać jednego apostrofu. Jeśli jednak rzeczywiście przez pół godziny próbował zrozumieć nieprawdziwy wzór, to chyba lepiej mu tego nie mówić, jeszcze się chłopak załamie i do matematyki zrazi
