funkcja Dirichleta nie jest granicą ciągu funkcji ciągłych

[_radek]

Mam problem żeby dokończyć takie zadanie. Trzeba pokazać że funkcja
\(\displaystyle{ f \left( x \right) =\begin{cases} 0, x\in \QQ\\
1, x\notin \QQ\end{cases}}\)
nie może być granicą funkcji ciągłych.

No i chciałem to zrobić w ten sposób że biorę sobie odcinki
\(\displaystyle{ \left[ 0, \frac{1}{n} \right]}\) \(\displaystyle{ n=3,4,....}\)
No i w każdym takim odcinku biorę sobie dowolną liczbę niewymierną \(\displaystyle{ p}\) dobieram tak duże \(\displaystyle{ k}\) żeby ze zbieżności punktowej mieć \(\displaystyle{ f_{k} \left( 0 \right) < \frac{1}{n}}\) oraz \(\displaystyle{ f_{k} \left( p \right) >1- \frac{1}{n}}\) no i mogę z Darboux wziąć \(\displaystyle{ z}\) że \(\displaystyle{ f_{k} \left( z \right) = \frac{1}{2}}\)
No i teraz \(\displaystyle{ f_{k} \left( z_{k} \right) = \frac{1}{2}}\) dla każdego \(\displaystyle{ k}\) no a dalej to nie mam pojęcia
No bo skoro mam przedziały coraz to mniejsze to \(\displaystyle{ z_{k}}\) dążą do \(\displaystyle{ 0}\) wszystkie funkcje są ciągłe więc \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}f_{k} \left( z_{k} \right) =f \left( 0 \right) =0\neq \frac{1}{2}}\) ale tu przechodzę z granicą i w funkcjach i w argumentach, a to jest dla mnie niezbyt oczywiste że tak mogę...

[szw1710]

Granica ciągu funkcji ciągłych jest funkcją pierwszej klasy Baire'a. Sprawdź, że funkcja Dirichleta nie jest pierwszej klasy.

[matmatmm]

No i chciałem to zrobić w ten sposób że biorę sobie odcinki
\(\displaystyle{ [0, \frac{1}{n} ]}\) \(\displaystyle{ n=3,4,....}\)
No i w każdym takim odcinku biorę sobie dowolną liczbę niewymierną \(\displaystyle{ p}\) dobieram tak duże \(\displaystyle{ k}\) żeby ze zbieżności punktowej mieć \(\displaystyle{ f_{k}(0) < \frac{1}{n}}\) oraz \(\displaystyle{ f_{k}(p)>1- \frac{1}{n}}\) no i mogę z Darboux wziąć \(\displaystyle{ z}\) że \(\displaystyle{ f_{k}(z) = \frac{1}{2}}\)
No i teraz \(\displaystyle{ f_{k}(z_{k})= \frac{1}{2}}\) dla każdego \(\displaystyle{ k}\) no a dalej to nie mam pojęcia
No bo skoro mam przedziały coraz to mniejsze to \(\displaystyle{ z_{k}}\) dążą do \(\displaystyle{ 0}\) wszystkie funkcje są ciągłe więc \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}f_{k}(z_{k})=f(0)=0\neq \frac{1}{2}}\) ale tu przechodzę z granicą i w funkcjach i w argumentach, a to jest dla mnie niezbyt oczywiste że tak mogę...

Zapis masz chaotyczny, ale udało mi się wyciągnąć z tego właściwą treść. Udowodniłeś mniej lub bardziej formalnie, że

\(\displaystyle{ \bigwedge_{\substack{ n\in \NN \\ n>2}}\bigvee_{\substack{ k_{n}\in \NN \\ k_n>n}}\bigvee_{\substack{ z_n \in \RR \\ 0<z_n<\frac{1}{n}}} f_{k_n} (z_n)=\frac{1}{2}}\)

To grawantuje nam, że
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}f_{k_n} (z_n)=\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}k_n=+\infty}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}z_n=0,}\)
jednak podobnie jak ty nie widzę jak z tego wyciągnąć \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}f_{k_n} (z_n)\stackrel{?}{=}f(0)}\)

-- 6 lip 2014, o 13:03 --

Ba. Taka własność jest nieprawdziwa. Jako kontrprzykład podaję:

\(\displaystyle{ f_{n}(x)=\left\{\begin{array}{ll}-1 &, x\in \left(-\infty,-\frac{1}{n}\right] \\ nx & , x\in \left( -\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)\\ 1 &,x\in\left[\frac{1}{n},+\infty\right)\end{array}\right.}\)
\(\displaystyle{ k_n=n+1}\)
\(\displaystyle{ z_n=\frac{1}{2(n+1)}}\)

[Dasio11]

Tutaj jest więcej na ten temat - taka własność jest równoważna temu, że zbieżność jest jednostajna.

[Spektralny]

Granica ciągu funkcji ciągłych jest funkcją pierwszej klasy Baire'a. Sprawdź, że funkcja Dirichleta nie jest pierwszej klasy.

Możliwe, że czegoś nie widzę, ale funkcje pierwszej klasy Baire'a są z definicji granicami ciągów funkcji ciągłych, więc powyżej to tylko użycie innej nazwy. Możesz proszę rozwinąć na czym polega wskazówka?

[szw1710]

Funkcja Dirichleta nie jest pierwszej klasy i można to sprawdzić innymi warunkami. O to mi chodziło.

Np. dowodzi się, że zbiór punktów nieciągłości funkcji pierwszej klasy jest zbiorem pierwszej kategorii. Tego warunku funkcja Dirichleta nie spełnia w sposób oczywisty.

[Marcinek665]

Jako ciekawostkę dodam, że funkcja Dirichleta jest funkcją drugiej klasy Baire'a. Mamy np. taką postać funkcji Dirichleta:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left( \lim_{k \to \infty} \left( \cos( |n! \pi x|) \right)^{2k} \right)}\)

[Everard]

Jeżeli sprawdzimy że funkcja Dirichleta nie może być granicą funkcji ciagłych już na przedziale \(\displaystyle{ [0,1]}\), w oczywisty sposób pociągnie to że nie jest ona granicą funkcji ciągłych określonych na całym \(\displaystyle{ \mathbb{R}_+}\). A w tym przypadku działa twierdzenie Jegorowa, które mówi że ciąg funkcji mierzalnych zbieżny prawie wszędzie jest zbieżny prawie jednostajnie. Ale jeżeli ciąg funkcji ciągłych zbiega prawie jednostajnie, to funkcja graniczna jest ciągła wszędzie poza zbiorem miary \(\displaystyle{ \varepsilon}\)(gdzie \(\displaystyle{ \varepsilon}\) jest dowolnie małe). Ale funkcja Dirichleta nie jest nigdzie ciągła. Koniec dowodu.

Z grubsza jest to to samo co napisał szw1710 - czyli niejako sprawdzamy że zbiór punktów nieciągłości jest "za duży". Myślę jednak że tw. Jegorowa jest szerzej znane niż ten fakt. Jeśli chcesz możesz sobie wykazać jako lemat, że jeśli funkcja jest punktową granicą funkcji ciągłych to jej zbiór punktów nieciągłości jest pierwszej kategorii - ot, dobre ćwiczenie.

Link do tw. Jegorowa:

[Dasio11]

Ale jeżeli ciąg funkcji ciągłych zbiega prawie jednostajnie, to funkcja graniczna jest ciągła wszędzie poza zbiorem miary \(\displaystyle{ \varepsilon}\)(gdzie \(\displaystyle{ \varepsilon}\) jest dowolnie małe).

Mógłbyś to udowodnić?