Na przykład W. Rudin (Analiza Funkcjonalna, wydanie drugie) pisze:
1) Czyli jeśli chcemy mówić o przestrzeni liniowo topologicznej, to musimy wpierw mieć odpowiednią topologię.Niech \(\displaystyle{ \tau}\) będzie topologią na przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ X}\) taką, że
a) każdy punkt przestrzeni \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem domkniętym,
b) operacje przestrzeni liniowej w \(\displaystyle{ X}\) są ciągłe względem \(\displaystyle{ \tau}\).
Jeśli powyższe warunki są spełnione, to \(\displaystyle{ \tau}\) nazywamy topologią liniową na \(\displaystyle{ X}\), a o \(\displaystyle{ X}\) mówimy, że jest przestrzenią liniowo topologiczną.
2) Każda przestrzeń topologiczna ma bazę.
3??) Więc każda przestrzeń liniowo topologiczna, np. ośrodkowa przestrzeń Banacha, powinna mieć bazę topologiczną?
Jednak tak nie jest, np. na problem 153 z "Księgi Szkockiej" brzmiący: "Czy każda ośrodkowa przestrzeń Banacha ma bazę topologiczną", odpowiedź jest negatywna.
Gdzie jest błąd w moim rozumieniu i postrzeganiu przestrzeni liniowo topologicznych? Byłbym wdzięczny za pomoc i wskazówki w tym jak powinienem je rozumieć
Nieco mnie przed chwilą zszokował fakt, że przestrzeń Banacha nie musi mieć bazy topologicznej, co oznacza, że muszę w całkowicie błędny sposób rozumieć najbardziej podstawowe pojęcia...
