granica- jeden przykład

[acerr90]

Nie wiem jak obliczyć granicę:

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\ 1} \frac{x}{x-1}}\)

[Zahion]

Oblicz granice jednostronne.

[acerr90]

Nie umiem tego robić. Czy mógłby mi Pan to rozpisać>?

[Zahion]

Liczymy granice z lewej strony
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\ 1 ^{-} } \frac{x}{x-1}}\) W liczniku mamy jedynkę, natomiast w mianowniku mamy bliską zeru liczbę ujemną ( dążymy do jedynki z lewej strony ), otrzymujemy więc \(\displaystyle{ 1}\) przez bliską zeru liczbę ujemną a więc \(\displaystyle{ \lim_{x\to\ 1 ^{-} } \frac{x}{x-1}=- \infty}\)
Licząc analogicznie z prawej strony otrzymujemy
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\ 1 ^{+} } \frac{x}{x-1}= \infty}\), bo dążymy do jedynki z prawej strony czyli otrzymujemy liczbę dodatnią bliską zeru (tj. dążącą do zera.)

[acerr90]

Granice są różne. Czyli nie istnieje granica??

[Zahion]

Jak granice jednostronne są różne, to granica nie istnieje, a jak są takie same, to istnieje. Więc tak, ma Pan racje.