Wykazanie równości
-
KameleonFCB
- Użytkownik
- Posty: 31
- Rejestracja: 2 kwie 2011, o 08:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 5 razy
Wykazanie równości
Jak pokazać, ze zachodzi taka równość:\(\displaystyle{ \int^2_0 (\sqrt{x^3+1}+\sqrt[3]{x^2+2x})\,dx = 6}\) ?
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Wykazanie równości
Niezbyt śmieszne.
Jeżeli \(\displaystyle{ f(x)=\sqrt{x^3+1}, \ g(x)=\sqrt[3]{x^2+2x}}\), to \(\displaystyle{ f(g(x))=x+1}\) dla \(\displaystyle{ x\ge 0}\). Podstawmy więc w tej całce \(\displaystyle{ x=g(t), \ t\in[0,2]}\), a powinniśmy łatwo dostać wynik.
Otrzymujemy bowiem taką oto całkę (rozbicie na dwie całki, całkowanie przez części w jednej i przez podstawienie \(\displaystyle{ u=g(t)}\) w drugiej):
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2}\left((t+1)g'(t)+g'(t)g(g(t))\right)\,\dd t=\\=(t+1)g(t)\bigg|^{t=2}_{t=0}- \int_{0}^{2}g(t)\,\dd t+ \int_{0}^{2}g(u)\,\dd u=3g(2)-g(0)=6}\)
co kończy dowód.-- 3 cze 2018, o 06:12 --W ogóle taki tekst spowodował, że przypomniał mi się user rtuszyns.
Modelowe wypowiedzi: „po jakiej zmiennej całkujemy?", „to jest łatwe", „brakuje stałej całkowania".
Jeżeli \(\displaystyle{ f(x)=\sqrt{x^3+1}, \ g(x)=\sqrt[3]{x^2+2x}}\), to \(\displaystyle{ f(g(x))=x+1}\) dla \(\displaystyle{ x\ge 0}\). Podstawmy więc w tej całce \(\displaystyle{ x=g(t), \ t\in[0,2]}\), a powinniśmy łatwo dostać wynik.
Otrzymujemy bowiem taką oto całkę (rozbicie na dwie całki, całkowanie przez części w jednej i przez podstawienie \(\displaystyle{ u=g(t)}\) w drugiej):
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2}\left((t+1)g'(t)+g'(t)g(g(t))\right)\,\dd t=\\=(t+1)g(t)\bigg|^{t=2}_{t=0}- \int_{0}^{2}g(t)\,\dd t+ \int_{0}^{2}g(u)\,\dd u=3g(2)-g(0)=6}\)
co kończy dowód.-- 3 cze 2018, o 06:12 --W ogóle taki tekst spowodował, że przypomniał mi się user rtuszyns.
Modelowe wypowiedzi: „po jakiej zmiennej całkujemy?", „to jest łatwe", „brakuje stałej całkowania".