Szereg Taylora w x=1

[Johny94]

Mam znaleźć rózwinięcie funkcji w szereg Taylora w punkcie \(\displaystyle{ x_0=1}\) dla funkcji
\(\displaystyle{ f(x)=(x+1) \cdot e^x}\)
Nie wiem jak ruszyć, rozwijanie najpierw \(\displaystyle{ e^x}\) nie doprowadza do rozwiązania.

[robertm19]

Jak pochodne liczysz, że nie wychodzi?

[Johny94]

Przepraszam, licząc wzór na n-tą pochodną w podanym punkcie wychodzi, ale chciałem z tego nie korzystać, tylko ze wzorów na rozwijanie szeregów, np. \(\displaystyle{ e^x = \sum_{n=0}^{\infty}{ \frac{x^n}{n!} }}\)

[musialmi]

Problem jest z szeregiem \(\displaystyle{ xe^{x}= \sum_{0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n!} = x+\sum_{1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n!} =x+ \sum_{0}^{\infty} \frac{x^{n+2}}{(n+1)!} =x+x \sum_{0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n!(n+1)}}\)
CAŁKUUUUJ!
Spójrz jak manipulowałem indeksem od którego sumujemy.
Dalej pewnie dasz radę.

[Dasio11]

A ja bym zrobił tak:

\(\displaystyle{ (x+1) \cdot e^x = (x-1+2) \cdot e \cdot e^{x-1} = 2e \cdot e^{x-1} + e \cdot (x-1) \cdot e^{x-1}.}\)

Teraz należy skorzystać z rozwinięcia

\(\displaystyle{ e^w = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{w^n}{n!}}\)

dla \(\displaystyle{ w = x-1.}\)