Wyznaczyć ekstrema lokalne wartość bewględna.

[trans22]

\(\displaystyle{ f\left( x\right) =\left| x\right| \left( x-2\right)^{2}}\)
\(\displaystyle{ Df: x \in R}\)
\(\displaystyle{ f\left( x\right)= \begin{cases} x \left( x-2\right) ^{2} dla x \ge 0 \\ -x \left( x-2\right) ^{2} dla x< 0\end{cases}}\)
Sprawdziłem czy pochodna w punkcie 0 istnieje okazało się że nie wiec,a funkcja jest ciągła...
\(\displaystyle{ f\left( x\right)= \begin{cases} x \left( x-2\right) ^{2} dla x > 0 \\ -x \left( x-2\right) ^{2} dla x< 0\end{cases}}\)
Mam więc rozwiązania:
\(\displaystyle{ f'(x) = 0 x \in \theta}\)
\(\displaystyle{ f'(x) > 0 x \in (0, \frac{2}{3}) \cup (2, \infty )}\)
\(\displaystyle{ f'(x) < 0 x \in (- \infty ,0)}\)
\(\displaystyle{ f( \frac{2}{3} )= \frac{20}{9}}\)
\(\displaystyle{ f(0)= 0}\)
\(\displaystyle{ f(2)= 0}\)

[MichalPWr]

Rozbij na dwa przypadki.

[kerajs]

\(\displaystyle{ f\left( x\right) =\left| x\right| \left( x-2\right)^{2} =\begin{cases} x\left( x-2\right)^{2} &\text{dla } x \ge 0\\-x\left( x-2\right)^{2}&\text{dla } x<0 \end{cases}}\)
Zbadaj ekstremum dla każdej funkcji odzielnie,
Osobnym problemem będzie sprawdzenie co dzieje się w zerze.

[trans22]

mam zrobione właśnie tak ale w 0 pochodna nie istnieje bo pochodna zbadałem z definicji lewo stroną i prawo stroną i wychodzi dla zera z lewej strony -4 dla prawej 4 ale funkcja jest ciągła i extrema istnieją co wtedy sie robi ??

[kerajs]

Skoro w zerze funkcja nie jest różniczkowalna (nie ma tam pochodnej), więc nie może tam występować ekstemum (którego WK jest zerowanie się pochodnej).

[trans22]

dobra wiec badamy x większego od zera i mniejszego co już poprawiłem w pierwszym poście to jest dla mnie jasne, mam problem tylko problem z narysowanie przybliżonego wykresu bo się pogubiłem i w sumie od samego początku mi o to chodziło sorki za źle sformułowane pytanie

[kerajs]

Masz tam spory bałagan. Uporządkuj to.
Osobno dla dodatnich, a osobno dla ujemnych argumentów pokaż gdzie jest maksimum, a gdzie minimum, i wskaż WŁAŚCIWE przedziały monitonicznośći.
I tak wygląda pochodna.
\(\displaystyle{ f'\left( x\right)= \begin{cases} 3x^2-8x+4 &\text{dla } x > 0 \\ -3x^2+8x-4 &\text{dla } x< 0\end{cases}}\)

[trans22]

no tak i rozwiązaniem tego układu będzie właśnie to :
\(\displaystyle{ f'(x) > 0 \ \ \Leftrightarrow x \in (0, \frac{2}{3}) \cup (2, \infty )}\)
\(\displaystyle{ f'(x) < 0 \ \ \Leftrightarrow x \in (- \infty ,0)}\)

Jak mogę określić teraz przedziały monotoniczności ??
Bo mam dwa wykresy te same tylko odbite względem osi ox.

[kropka+]

A co w przedziale \(\displaystyle{ \left( \frac{2}{3},2 \right)}\)?
A kiedy pochodna się zeruje?
Jak pochodna jest dodatnia, to funkcja rośnie. Jak pochodna ujemna, to funkcja maleje. Jak pochodna jest zerem to funkcja osiąga ekstremum.

[kerajs]

Chyba nic nie policzyłes dla ujemnych iksów
Dla \(\displaystyle{ x>0}\) masz
\(\displaystyle{ f'(x) > 0 \ \ \Leftrightarrow x \in (0, \frac{2}{3}) \cup (2, \infty )}\)
\(\displaystyle{ f'(x) < 0 \ \ \Leftrightarrow x \in ( \frac{2}{3},2 )}\)

Jak mogę określić teraz przedziały monotoniczności ??

dla dodatniej pochodnej funkcja rśnie , dla ujemnej maleje.
czyli
\(\displaystyle{ f _{rosnie} &\text{gdy} x \in (0, \frac{2}{3}) \cup (2, \infty )}\)
\(\displaystyle{ f _{maleje} &\text{gdy} x \in ( \frac{2}{3},2 )}\)

Co z ekstremami?

[kropka+]

Przecież policzył, że dla ujemnych iksów pochodna jest ujemna.

[trans22]

Dobra dzięki za pomoc już dalej wiem co robić, tyle tych zadań dziś, że zacząłem się gubić na takich niby prostych zadaniach.