Wartości własne macierzy.

[Schadoow]

Zadanie brzmi :
\(\displaystyle{ A = \left[\begin{array}{ccc}3&-1&-2\\2&0&-2\\2&-1&-1\end{array}\right]}\)
a) Znaleźć wszystkie wartości własne macierzy A.
b) Dla każdej wartości własnej znalezionej w (a) znaleźć odpowiadającą jej przestrzeń wektoró własnych(zapisując ją formalnie). Przypominam, że wektor zerowy zaliczamy do przestrzeni wektorów własnych(mimo że z definicji nie jest on wektorem własnym).

Moje rozwiazanie
a)
\(\displaystyle{ A_{\lambda} = \left[\begin{array}{ccc}3- \lambda&-1&-2\\2&-\lambda&-2\\2&-1&-1-\lambda\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ det(A_{\lambda}) = - \lambda ( \lambda^{2} - 2\lambda + 1)}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \lambda_{1} = 0\\\lambda_{2} = 1\end{cases}}\)
b)
teraz dla \(\displaystyle{ \lambda_{1} = 0}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}3&-1&-2\\2&0&-2\\2&-1&-1\end{array}\right] X = 0}\)
i tutaj mi wychodzi \(\displaystyle{ x = y = z}\)
czyli \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}x\\x\\x\end{array}\right]}\)

teraz dla \(\displaystyle{ \lambda_{2} = 1}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&-1&-2\\2&-1&-2\\2&-1&-2\end{array}\right] X = 0}\)

w takim razie wychodzi mi
\(\displaystyle{ 2x-y-2z = 0}\)
czyli \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}x\\2x-2z\\z\end{array}\right]}\)

i teraz wektory wlasne =
\(\displaystyle{ v_{1} = (1,1,1)^{T}
v_{2}=(1,0,1)^{T}
v_{3}=(1,2,0)^{T}}\)
I teraz właśnie czy to jest dobrze i jak dokończyć b) to jest rozchodzi mi się o zapis formalny i czy ew trzeba coś jeszcze tu zrobić?

[TrzyRazyCztery]

chyba uczymy sie na ten sam egzamin https://www.matematyka.pl/367182.htm
robiłem to zadanie tutaj pare dni temu ale tez nie uzyskałem odpowiedzi, ale mam wrażenie że jest dobrze i zapisy formalne chyba też mam zachowane

[yorgin]

\(\displaystyle{ \begin{cases} \lambda_{1} = 0\\\lambda_{2} = 1\end{cases}}\)

Ten zapis jest mylący i sugeruje istnienie dwóch pierwiastków.

\(\displaystyle{ v_{1} = (1,1,1)^{T}
v_{2}=(1,0,1)^{T}
v_{3}=(1,2,0)^{T}}\)

To jest ok, choć zgodnie z powyższą uwagą to jest mylące. Trzy wektory własne do dwóch pierwiastków.

I teraz właśnie czy to jest dobrze i jak dokończyć b) to jest rozchodzi mi się o zapis formalny i czy ew trzeba coś jeszcze tu zrobić?

Nie do końca wiem, czy o to chodzi, ale ja bym zapisał po prostu, że dla wartości własnej odpowiadająca jej przestrzeń własna to ... (i tu wpisał odpowiednią przestrzeń rozpiętą przez wektory własne).