Funkcja nieskończenie wiele razy różniczkowalna w punkcie

[Kaleo]

Niech \(\displaystyle{ f(x)=\cos \sqrt{x}}\) dla \(\displaystyle{ x \ge 0}\) i \(\displaystyle{ f(x)=\cosh \sqrt{-x}}\) dla \(\displaystyle{ x<0}\). Dowieść, że funkcja f jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna w punkcie \(\displaystyle{ x=0}\).

[Dasio11]

Wskazówka: rozwiń tę funkcję w szereg Maclaurina.

[Kaleo]

jakie wnioski mogę wyciągnąć z tego, że \(\displaystyle{ f(x)= \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{(-1)^{n} x^{n} }{(2n)!}}\) w otoczeniu 0?

[Dasio11]

Jest takie twierdzenie:

Załóżmy, że szereg potęgowy

\(\displaystyle{ S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n \cdot x^n}\)

ma promień zbieżności \(\displaystyle{ R > 0.}\) Wtedy funkcja \(\displaystyle{ S}\) jest różniczkowalna na przedziale \(\displaystyle{ |x| < R,}\) zachodzi wzór

\(\displaystyle{ S'(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1) \cdot a_{n+1} \cdot x^n}\)

oraz promieniem zbieżności szeregu potęgowego po prawej stronie jest znów \(\displaystyle{ R.}\)

Twierdzenie pozostaje prawdziwe, gdy \(\displaystyle{ R = \infty,}\) tzn.

Ukryta treść:    

Załóżmy, że szereg potęgowy

\(\displaystyle{ S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n \cdot x^n}\)

jest zbieżny dla wszystkich \(\displaystyle{ x \in \RR.}\) Wtedy funkcja \(\displaystyle{ S}\) jest różniczkowalna na \(\displaystyle{ \RR,}\) zachodzi wzór

\(\displaystyle{ S'(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1) \cdot a_{n+1} \cdot x^n}\)

oraz szereg potęgowy po prawej stronie jest znów zbieżny na \(\displaystyle{ \RR.}\)

Weźmy teraz dowolny szereg potęgowy

\(\displaystyle{ S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n \cdot x^n}\)

spełniający powyższe założenia (pierwszej lub drugiej wersji). W myśl twierdzenia jego pochodna jest szeregiem potęgowym:

\(\displaystyle{ S'(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1) \cdot a_{n+1} \cdot x^n}\)

również spełniającym założenia, wobec czego ma dalsze pochodne, mianowicie:

\(\displaystyle{ S''(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) \cdot a_{n+2} \cdot x^n,}\)

i ogólnie:

\(\displaystyle{ S^{(k)}(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (n+k)(n+k-1) \cdots (n+1) \cdot a_{n+k} \cdot x^n}\) dla \(\displaystyle{ k = 1, 2, \ldots}\)

Zatem taki szereg potęgowy ma wszystkie pochodne w swoim obszarze zbieżności.