Witam,
jak obliczyć
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to -2^+ } \ln ( -x^{2} +2x+8) + \frac{1}{x+2}}\) ?
Granica z logarytmem
-
krystian1863
- Użytkownik
- Posty: 121
- Rejestracja: 3 maja 2010, o 17:23
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 14 razy
- Pomógł: 2 razy
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8708
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 335 razy
- Pomógł: 3431 razy
Granica z logarytmem
Może tak:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to-2+ } \ln ( -x^{2} +2x+8) + \frac{1}{x+2}= \left[ - \infty - \infty \right] =\lim_{ x\to-2+ } \ln ( -x^{2} +2x+8) +\ln e ^{\frac{1}{x+2}}= \lim_{ x\to-2+ } \ln \left( x+2\right)\left( 4-x\right)e ^{\frac{1}{x+2}}= \lim_{ x\to-2+ } \ln \frac{e ^{\frac{1}{x+2}}}{ \frac{1}{-x^{2} +2x+8} } = \ln \lim_{ x\to-2+ }\frac{e ^{\frac{1}{x+2}}}{ \frac{1}{-x^{2} +2x+8} }}\)
Teraz reguła de l'Hopitala dla ułamka wewnątrz logarytmu
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to-2+ } \ln ( -x^{2} +2x+8) + \frac{1}{x+2}= \left[ - \infty - \infty \right] =\lim_{ x\to-2+ } \ln ( -x^{2} +2x+8) +\ln e ^{\frac{1}{x+2}}= \lim_{ x\to-2+ } \ln \left( x+2\right)\left( 4-x\right)e ^{\frac{1}{x+2}}= \lim_{ x\to-2+ } \ln \frac{e ^{\frac{1}{x+2}}}{ \frac{1}{-x^{2} +2x+8} } = \ln \lim_{ x\to-2+ }\frac{e ^{\frac{1}{x+2}}}{ \frac{1}{-x^{2} +2x+8} }}\)
Teraz reguła de l'Hopitala dla ułamka wewnątrz logarytmu