Niestandardowa zamiana zmiennych w całce podwójnej

[czeslaw]

Witam, polecenie zadania brzmi:

Stosując odpowiednią zamianę zmiennych obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach.

\(\displaystyle{ \iint_{D} xy \ \text{dxdy} \\ \\ D: xy=1, xy=2, y=x^2, y=3x^3}\)
Jakiej zamiany zmiennych można tu dokonać, żeby ułatwić narysowanie obszaru całkowania?

Dziękuję za pomoc i pozdrawiam

EDIT: Może napiszę jak kombinowałem - podstawiałem na przykład \(\displaystyle{ u = xy}\) (to podstawienie wydaje mi się pewnym kandydatem) oraz \(\displaystyle{ v=\frac{1}{y}}\) (oraz różne wariacje). Najlepszy wynik, do którego doszedłem, to zapisanie obszaru całkowania w postaci:
\(\displaystyle{ D: u=1, u=2, v=\frac{1}{\sqrt[3]{u^2}}, v=\frac{1}{\sqrt[4]{u^3}}}\)
Czy to jest łatwiejsze do narysowania od obszaru zapisanego w zmiennych pierwotnych? Według mnie dyskusyjna kwestia...

[kerajs]

A co z
\(\displaystyle{ u=xy \wedge v= \frac{y}{x ^{2} }}\)?
Całkujesz po prostokącie .
A jakobian wynosi \(\displaystyle{ J=3 \frac{y}{x ^{2} }=3v}\)

[czeslaw]

No ok, tylko jak zapisać w takim układzie współrzędnych równanie krzywej \(\displaystyle{ y=3x^3}\) ?

[kerajs]

Ciut niedowidzę. Wydawało mi się iż tam jest kwadrat.
Zastanowię się nad faktycznie tam istniejącym sześcianem.

-- 21 cze 2014, o 15:05 --

A może to Cię zadowoli:
\(\displaystyle{ u=xy \wedge v= \sqrt[12]{x}}\) to
\(\displaystyle{ 1 \le u \le 2}\)
\(\displaystyle{ \left( \frac{u}{3} \right) ^{3} \le v \le u ^{4}}\)
\(\displaystyle{ J=-12v}\)

Zabawne jest to, że całkowanie w pierwotnym obszarze jest szybsze niż znalezienie ,,łatwiejszego' obszaru w nowych zmiennych.

[czeslaw]

Ostatnia uwaga bardzo słuszna Narzucanie dłuższej metody rozwiązania zadania w poleceniu to kompletny bezsens, zupełnie nie rozumiem punktu widzenia układającego listy. Użyłem ostatecznie zamiany przedstawionej w pierwszym poście, zajęło to zdecydowanie więcej czasu i miejsca niż całkowanie po zmiennych początkowych...

Dzięki za próbę pomocy.