Badania operacyjne, Ceny dualne

[czopek919]

Witam!
Mam do rozwiązania takie oto proste zadanie. Interesuje mnie matematyczny sposób rozwiązania tego zadania. Naprowadźcie mnie, lub podajcie propozycję rozwiązania.
Z góry dziękuję.

Przed egzaminem pewien student chciałby zapewnić sobie jasność umysłu minimalnym kosztem. Ma do wyboru: filiżankę kawy oraz napój energetyczny. Ich ceny wynoszą odpowiednio 2 zł i 4,50 zł. Aby osiągnąć pożądany stan umysłu, student ten musi spożyć co najmniej 150 mg kofeiny i 200 mg potasu. Filiżanka kawy zawiera 100 mg kofeiny i 50 mg potasu, puszka napoju energetycznego 50 mg kofeiny i 100 mg potasu. Jak osiągnąć jasność umysłu minimalnym kosztem?

[kropka+]

[czopek919]

A jak powinno wyglądać równanie do tego zadania ?

[kropka+]

\(\displaystyle{ x _{1}}\) - ilość filiżanek kawy
\(\displaystyle{ x _{2}}\) - ilość puszek napoju

\(\displaystyle{ 2x _{1}+4,5x _{2} \rightarrow min \\ \\
\begin{cases} 100x _{1}+50x _{2} \ge 150 \\ 50x _{1}+100x _{2} \ge 200 \\ x _{1},x _{2} \ge 0 \\
x _{1},x _{2} \in Z \end{cases}}\)

[czopek919]

A w jaki sposób rozwiązać ten układ równań ?

[sushi]

przyjmij na potrzeby zadania

\(\displaystyle{ x_1=y}\)

\(\displaystyle{ x_2=x}\)

i rysujesz sobie w układzie współrzędnych dwie proste, zaznaczasz płaszczyzny i wybierasz punkt(rozwiązanie)

[czopek919]

Dzięki za pomoc, ale w dalszym ciągu nie potrafię matematycznie dojść do wniosku, że najlepszą opcją dla studenta jest wypicie czterech kaw.

Krzywe przecinają się punkcie [1,66;0,66] ale nie jest to rozwiązanie zadania.
Co proponujecie ?

[sushi]

jeszcze trzeba nanieść prostą (z warunku minimalnego)

[czopek919]

A jak taka funkcja ma być sformułowana, bym mógł ją nanieść na układ współrzędnych ?

Generalnie do tego miejsca doszedłem sam już przed założeniem tematu na forum i cały czas rozchodzi mi się właśnie to tą prostą, która zawiera warunek minimum w tym zadaniu.

[sushi]

rysujesz

\(\displaystyle{ y= \frac{-4}{9} x}\)

i przesuwasz do góry, aż jakiś punkt znajdzie sie w obszarze wyznaczonym przez te dwie wcześniejsze nierówności

[duskaa212]

A czy mógłby ktoś dodać rozwiązanie tego zadania krok po kroku? Będę wdzięczna.