Zamiana zmiennych w równaniach różniczkowych

[jaranna]

uwaga, \(\displaystyle{ \phi, \psi}\) sa funkcjami jednej zmiennej, więc pisanie \(\displaystyle{ \partial\psi/\partial t}\) ma mało sensu.
\(\displaystyle{ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t)=\phi''(x-at)+\psi''(x+at)}\)

Jak to jednej? Przecież obydwie są zależne i od x i od t?

Liczymy drugą pochodną sumy dwóch funkji.

Jaka jest druga pochodna po \(\displaystyle{ t}\) z funkcji \(\displaystyle{ \phi(x-at)}\), a jaka z funkcji \(\displaystyle{ \psi(x+at)}\)?

\(\displaystyle{ \frac{\partial ^{2} \phi (x-at)}{\partial t^2} = a^{2} \cdot \frac{\partial ^{2} \phi }{\partial t^2} \\
\frac{\partial ^{2} \psi (x+at)}{\partial t^2} =a^{2} \cdot \frac{\partial ^{2} \psi }{\partial t^2}}\) tak?

[yorgin]

Jak to jednej? Przecież obydwie są zależne i od x i od t?

Są zależne od jednej zmiennej. Pisałem o tym tutaj: 366974.htm#p5244502

\(\displaystyle{ \frac{\partial ^{2} \phi (x-at)}{\partial t^2} = a^{2} \cdot \frac{\partial ^{2} \phi }{\partial t^2} \\
\frac{\partial ^{2} \psi (x+at)}{\partial t^2} =a^{2} \cdot \frac{\partial ^{2} \psi }{\partial t^2}}\) tak?

Nie. Zapis drugich pochodnych po prawych stronach jest niepoprawny.

[a4karo]

uwaga, \(\displaystyle{ \phi, \psi}\) sa funkcjami jednej zmiennej, więc pisanie \(\displaystyle{ \partial\psi/\partial t}\) ma mało sensu.
\(\displaystyle{ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t)=\phi''(x-at)+\psi''(x+at)}\)

Jak to jednej? Przecież obydwie są zależne i od x i od t?

Spójrz na taki przykład: sinus jest oczywiście funkcją jednej zmiennej. Natomiast funkcja \(\displaystyle{ u(x,y)=\sin(x^2+y^2)}\) jest funkcja dwóch zmiennych. Żeby policzyć jej pochodne piszesz tak:
\(\displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial x}(x,y)=\cos(x^2+y^2)\cdot 2x}\) etc. Natomiast nigdzie nie pojawia się zapis \(\displaystyle{ \partial \sin/\partial x}\) bo to po prostu nie ma sensu.

[jaranna]

Ok, już chyba rozumiem, czyli będzie po prostu tak:

\(\displaystyle{ \frac{\partial ^{2} \phi (x-at)}{\partial t^2} = a^{2} \cdot \phi'' \\
\frac{\partial ^{2} \psi (x+at)}{\partial t^2} =a^{2} \cdot \psi''}\)

[a4karo]

Zapomniałas o argumentach \(\displaystyle{ \phi''}\) i \(\displaystyle{ \phi''}\)

[jaranna]

\(\displaystyle{ \frac{\partial ^{2} \phi (x-at)}{\partial t^2} = a^{2} \cdot \phi''(x-at) \\
\frac{\partial ^{2} \psi (x+at)}{\partial t^2} =a^{2} \cdot \psi''(x+at)}\)
A to jest istotne jeżeli już policzyłam z tego pochodną?

[a4karo]

W tym przypadku tak. Gdyby wszystkie pochodne były liczone w tym samym punkcie, to można by było je pominąć