Znaleźć pole powierzchni domkniętego obszaru:
\(\displaystyle{ A = { (x,y) \in R^{2} : x^{2} + y \le 1 , x^{2} + y^{2} \le 1 }}\) .
Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu.
Pole powierzchni domkniętego obszaru
-
chris_f
- Użytkownik
- Posty: 2726
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
Pole powierzchni domkniętego obszaru
Pomocny będzie rysunek
Przede wszystkim zauważmy, że interesujący nas obszar można podzielić na dwie części:
- pierwsza leżąca pod osią Ox - będzie to połowa koła o promieniu 1, a zatem ta część będzie miała powierzchnię \(\displaystyle{ P_1=\frac{\pi}{2}}\). Można to liczyć przy pomocy całek, ale to już przesada.
- druga część jest obszarem ograniczonym z góry przez parabolę \(\displaystyle{ y=1-x^2}\) a zatem to pole będzie wynosiło
\(\displaystyle{ P_2=\int\limits_{-1}^1(1-x^2)dx=(x-\frac{x^3}{3}\Big|^1_{-1}=1-\frac13-(-1+\frac13)=2-\frac23=\frac43}\)
Przede wszystkim zauważmy, że interesujący nas obszar można podzielić na dwie części:
- pierwsza leżąca pod osią Ox - będzie to połowa koła o promieniu 1, a zatem ta część będzie miała powierzchnię \(\displaystyle{ P_1=\frac{\pi}{2}}\). Można to liczyć przy pomocy całek, ale to już przesada.
- druga część jest obszarem ograniczonym z góry przez parabolę \(\displaystyle{ y=1-x^2}\) a zatem to pole będzie wynosiło
\(\displaystyle{ P_2=\int\limits_{-1}^1(1-x^2)dx=(x-\frac{x^3}{3}\Big|^1_{-1}=1-\frac13-(-1+\frac13)=2-\frac23=\frac43}\)