Wskaz zgodny i nieobciazony estymator słuzacy do przyblizania \(\displaystyle{ \int_{0}^{1}f(x)dx}\) oblicz jego wariancje.
Proszę o pomoc
Estymator służący do przybliżania
-
szw1710
Estymator służący do przybliżania
Szukałbym wśród kwadratur. Zobacz np. na kwadraturę Gaussa (może być dwupunktowa), na wzór Simpsona itp. Nie wiem czy te estymatory są zgodne i nieobciążone. Ale tak zaczynałbym poszukiwania.
Stawiam na kwadraturę Gaussa, bo w pewnym sensie jest ona optymalna. Może być dwupunktowa, może być trzypunktowa itp. Ale węzły w sposób dokładny możemy wyznaczyć tylko dla kwadratury do czterech węzłów włącznie.
Stawiam na kwadraturę Gaussa, bo w pewnym sensie jest ona optymalna. Może być dwupunktowa, może być trzypunktowa itp. Ale węzły w sposób dokładny możemy wyznaczyć tylko dla kwadratury do czterech węzłów włącznie.
-
szw1710
Estymator służący do przybliżania
Zapewne funkcją zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) skupionej na \(\displaystyle{ [0,1]}\). W tym momencie mamy \(\displaystyle{ Ef(X)=\int_0^1 f(x)\dd x}\). Estymujemy więc \(\displaystyle{ Ef(X)}\).
W tym sensie znajdowanie estymatorów całki metodami statystycznymi uważam za zasadne.
W tym sensie znajdowanie estymatorów całki metodami statystycznymi uważam za zasadne.
-
Adifek
- Użytkownik
- Posty: 1560
- Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 398 razy
Estymator służący do przybliżania
No właśnie. W związku z powyższym całkę estymuję się metodą monte carlo
Niech \(\displaystyle{ X_i}\) będzie ciągiem i.i.d, zmiennych o rozkładzie jednostajnym na \(\displaystyle{ [0,1]}\), \(\displaystyle{ f\in L^{2}(0,1)}\). Wtedy
\(\displaystyle{ \mathbb{E}f(X_i) = \int_{0}^{1}f(x)dx}\).
\(\displaystyle{ \mathbb{E}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(X_i)= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\mathbb{E}f(X_i) = \int_{0}^{1}f(x)dx}\)
\(\displaystyle{ P\left(\left| \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(X_i) - \int_{0}^{1}f(x)dx \right| >\varepsilon \right) \le \frac{1}{\varepsilon^2}Var \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(X_i) = \\ \\ = \frac{1}{n^2 \varepsilon^2}nVar f(X_i) = \frac{Var f(X_i)}{\varepsilon^2 n} \longrightarrow 0}\)
Tak więc \(\displaystyle{ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(X_i)}\) jest tym, czego szukasz
Ponadto z MPWL mamy:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(X_i) =\int_{0}^{1}f(x)dx}\) p.n.
Niech \(\displaystyle{ X_i}\) będzie ciągiem i.i.d, zmiennych o rozkładzie jednostajnym na \(\displaystyle{ [0,1]}\), \(\displaystyle{ f\in L^{2}(0,1)}\). Wtedy
\(\displaystyle{ \mathbb{E}f(X_i) = \int_{0}^{1}f(x)dx}\).
\(\displaystyle{ \mathbb{E}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(X_i)= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\mathbb{E}f(X_i) = \int_{0}^{1}f(x)dx}\)
\(\displaystyle{ P\left(\left| \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(X_i) - \int_{0}^{1}f(x)dx \right| >\varepsilon \right) \le \frac{1}{\varepsilon^2}Var \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(X_i) = \\ \\ = \frac{1}{n^2 \varepsilon^2}nVar f(X_i) = \frac{Var f(X_i)}{\varepsilon^2 n} \longrightarrow 0}\)
Tak więc \(\displaystyle{ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(X_i)}\) jest tym, czego szukasz
Ponadto z MPWL mamy:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(X_i) =\int_{0}^{1}f(x)dx}\) p.n.
Ostatnio zmieniony 14 cze 2014, o 19:33 przez Adifek, łącznie zmieniany 1 raz.
-
szw1710
Estymator służący do przybliżania
Czyli kwadratura - metoda prostokątów Simpsonem czy Gausem też by można.
Ale fajnie to wytłumaczyłeś. Po prostu średnia z wartości \(\displaystyle{ f}\) na próbie jest estymatorem całki. Biorąc \(\displaystyle{ f(x)=x}\) dostajemy, że średnia z próby jest estymatorem zgodnym i nieobciążonym wartości oczekiwanej. Ładnie.
Inną kwestią jest dobranie ciągu zmiennych losowych do metody SImpsona czy kwadratury Gaussa. A że w Gaussie mamy węzły niewymierne, to może go jednak zarzucić. Simpson będzie dobry. Tam węzły są równo rozmieszczone. Oczko niżej - metoda prostokątów.
Ale fajnie to wytłumaczyłeś. Po prostu średnia z wartości \(\displaystyle{ f}\) na próbie jest estymatorem całki. Biorąc \(\displaystyle{ f(x)=x}\) dostajemy, że średnia z próby jest estymatorem zgodnym i nieobciążonym wartości oczekiwanej. Ładnie.
Inną kwestią jest dobranie ciągu zmiennych losowych do metody SImpsona czy kwadratury Gaussa. A że w Gaussie mamy węzły niewymierne, to może go jednak zarzucić. Simpson będzie dobry. Tam węzły są równo rozmieszczone. Oczko niżej - metoda prostokątów.
-
Teano
- Użytkownik
- Posty: 142
- Rejestracja: 6 lut 2012, o 19:49
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 93 razy
Estymator służący do przybliżania
Dziękuję bardzo za pomoc!
Mogłabym prosić jeszcze o pomoc przy obliczaniu wariancji tego estymatora?
Doszłam do tego:
\(\displaystyle{ Var \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(X_i) = \frac{1}{n^{2}} n^{2} Var f(X_i) = Var f(X_i) = ..}\)
i teraz korzystam ze wzoru: \(\displaystyle{ Var X = \int_{- \infty }^{+ \infty } (x - EX)^{2}f(x)dx}\)
\(\displaystyle{ .. = \int_{0}^{1}(x - \int_{0}^{1}f(x)dx )^{2}f(x)dx}\) = ..
to będzie coś takiego?
Mogłabym prosić jeszcze o pomoc przy obliczaniu wariancji tego estymatora?
Doszłam do tego:
\(\displaystyle{ Var \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(X_i) = \frac{1}{n^{2}} n^{2} Var f(X_i) = Var f(X_i) = ..}\)
i teraz korzystam ze wzoru: \(\displaystyle{ Var X = \int_{- \infty }^{+ \infty } (x - EX)^{2}f(x)dx}\)
\(\displaystyle{ .. = \int_{0}^{1}(x - \int_{0}^{1}f(x)dx )^{2}f(x)dx}\) = ..
to będzie coś takiego?
-
Adifek
- Użytkownik
- Posty: 1560
- Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 398 razy
Estymator służący do przybliżania
Już pierwszy krok jest źle.
\(\displaystyle{ Var \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(X_i) = \frac{1}{n^{2}} Var\sum_{i=1}^{n} f(X_i) =\frac{1}{n^{2}} nVar f(X_i) = \frac{1}{n} Var f(X_i)}\)
(tak swoją drogą, to przecież wyżej to policzyłem...)
A dalej:
\(\displaystyle{ Var f(X_i) = \mathbb{E}\left[ f(X_i) - \int_{0}^{1}f(x)dx \right]^{2} = \\ \\= \mathbb{E}f^{2}(X_i) -2\int_{0}^{1}f(x)d x \cdot \mathbb{E}f(X_i) + \left( \int_{0}^{1}f(x)dx \right)^{2} = \\ \\ = \int_{0}^{1}f^{2}(x)dx - 2\left( \int_{0}^{1}f(x)d x\right)^{2} + \left( \int_{0}^{1}f(x)dx \right)^{2} = \\ \\ = \int_{0}^{1}f^{2}(x)dx - \left( \int_{0}^{1}f(x)dx \right)^{2}}\)
W szczególności widać, że w dowodach można wygodnie używać nierówności \(\displaystyle{ Varf(X_i ) \le ||f||_{2}^{2}}\).
\(\displaystyle{ Var \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(X_i) = \frac{1}{n^{2}} Var\sum_{i=1}^{n} f(X_i) =\frac{1}{n^{2}} nVar f(X_i) = \frac{1}{n} Var f(X_i)}\)
(tak swoją drogą, to przecież wyżej to policzyłem...)
A dalej:
\(\displaystyle{ Var f(X_i) = \mathbb{E}\left[ f(X_i) - \int_{0}^{1}f(x)dx \right]^{2} = \\ \\= \mathbb{E}f^{2}(X_i) -2\int_{0}^{1}f(x)d x \cdot \mathbb{E}f(X_i) + \left( \int_{0}^{1}f(x)dx \right)^{2} = \\ \\ = \int_{0}^{1}f^{2}(x)dx - 2\left( \int_{0}^{1}f(x)d x\right)^{2} + \left( \int_{0}^{1}f(x)dx \right)^{2} = \\ \\ = \int_{0}^{1}f^{2}(x)dx - \left( \int_{0}^{1}f(x)dx \right)^{2}}\)
W szczególności widać, że w dowodach można wygodnie używać nierówności \(\displaystyle{ Varf(X_i ) \le ||f||_{2}^{2}}\).