Wielomian nie mający pierwiastków w żadnym ciele/pierścieniu

[karpadros]

Podać przykład wielomianu, który nie ma pierwiastków w żadnym ciele oraz taki, który nie ma pierwiastków w żadnym pierścieniu. Mógłbym prosić o taki przykład? Bo np. \(\displaystyle{ X^{2} + 1}\) ma rozwiązanie w \(\displaystyle{ \CC}\). Czy to ma jakiś związek z liczbami algebraicznymi?

// I gdyby można było podać jeszcze jakiś przykład wielomianu, który jest rozkładalny nad pewnym pierścieniem, ale jest nierozkładalny nad ciałem ułamków tego pierścienia. Można tu skorzystać bezkarnie z pierścieni \(\displaystyle{ \ZZ}\) oraz \(\displaystyle{ \QQ}\)?

Pozdrawiam.

[szw1710]

W żadnym ciele nie wyjdzie, albowiem każde ciało ma swoje algebraiczne domknięcie. Tym bardziej nie wyjdzie w pierścieniu, bo ciało jest pierścieniem (przemiennym).

Być może rozważasz pierścienie i ciała nieprzemienne (prawe i lewe odwrotności), ale ja w tej konwencji nie pracuję.

[VillagerMTV]

Podać przykład wielomianu, który nie ma pierwiastków w żadnym ciele

\(\displaystyle{ f=1}\) nie ma pierwiastków w żadnym ciele z tego co wiem

[karpadros]

\(\displaystyle{ f=1}\) nie ma pierwiastków w żadnym ciele z tego co wiem

Haha, no rzeczywiście Dziękuję serdecznie!

To pozostaje mi wielomian rozkładalny nad pierścieniem i nierozkładalny nad ciałem ułamków tego pierścienia.

[VillagerMTV]

Czasami najtrudniej wymyślić coś prostego

Może do tego wielomianu rozkładalnego też jest prosty przykład. Pewnie przy jakimś \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\) albo \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) powinien jakiś przykład być. Ale nie mam przykładu. Może ktoś mądrzejszy napisze.

[szw1710]

Celowo pominąłem wielomian stały, bo założyłem pomyłkę w przepisaniu treści zadania.