Zamiana zmiennych w równaniach różniczkowych

[jaranna]

Mam udowodnić, że: \(\displaystyle{ \frac{\partial ^{2} u}{ \partial t ^{2} } = a^{2} \frac{ \partial^{2}u}{ \partial x^{2}}}\), gdzie \(\displaystyle{ u: (t,x) \rightarrow \phi (x-at) + \psi (x+at)}\) oraz funkcje \(\displaystyle{ \phi, \psi}\) są dwukrotnie różniczkowalne w \(\displaystyle{ \RR}\)

Proszę o pomoc

[yorgin]

Co ta strzałka oznacza?

W czym problem? Z tego, co widze, to jest banalne różniczkowanie.

[jaranna]

Chyba chodzi o odwzorowanie, ale pewna nie jestem. Może różniczkowanie jest proste, ale ja nawet nie wiem jak zapisać diagram tzn. jak zacząć.

[yorgin]

Jaki diagram?

Swoją drogą domyśliłem się znaczenia tej strzałki i istotnie jest to symbol odwzorowania.

Masz do policzenia druga pochodną po \(\displaystyle{ t}\) oraz po \(\displaystyle{ x}\) funkcji \(\displaystyle{ \phi (x-at) + \psi (x+at)}\). W czym, powtarzam, leży problem? To jest zwykła pochodna złożenia.

[jaranna]

Ok, więc chodzi o to że nie wiem dokładnie jak zapisać te pochodne.

\(\displaystyle{ \frac{ \partial u }{\partial t} = \frac{\partial u}{\partial \phi} \cdot \frac{\partial \phi}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial \psi} \cdot \frac{\partial \psi}{\partial t} \\
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial \phi} \cdot \frac{\partial \phi}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial \psi} \cdot \frac{\partial \psi}{\partial x}}\)

Czy powinno to wyglądać w ten sposób? I teraz jak mogłabym policzyć np. \(\displaystyle{ \frac{\partial \phi}{\partial x}}\) jeżeli nie mam podanej konkretnie funkcji?

[yorgin]

Czy powinno to wyglądać w ten sposób?

Nie. Twój zapis jest bardzo zły. Co to w szczegóności jest \(\displaystyle{ \pfrac{u}{\phi}}\)?

I teraz jak mogłabym policzyć np. \(\displaystyle{ \frac{\partial \phi}{\partial x}}\) jeżeli nie mam podanej konkretnie funkcji?

Tak samo, jak liczysz pochodną \(\displaystyle{ (f(x)+g(x))'}\) gdy nie znasz funkcji. Na tym polega abstrakcyjne liczenie.

Dla przykładu, masz funkcję \(\displaystyle{ u(x,y)=g(x+y)}\), gdzie \(\displaystyle{ g=g(s)}\) oraz \(\displaystyle{ s=x+y}\). Licząc \(\displaystyle{ \pfrac{u}{x}}\) liczysz pochodną złożenia. Jak ona wygląda?

[jaranna]

Czyli będzie to poprostu coś takiego:
\(\displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial \phi (x-at)}{\partial x} + \frac{\partial \psi (x+at)}{\partial x}}\) ?

[yorgin]

A ile to jest \(\displaystyle{ \frac{\partial \phi (x-at)}{\partial x}}\)? Przecież z tym cały czas jest problem.

Postaraj się to przemyśleć - ja będe na forum dopiero jutro.

[jaranna]

No to jest po prostu \(\displaystyle{ \frac{\partial \phi}{\partial x}}\) ? Bo pochodna wewnętrzna jest równa jeden?

[yorgin]

Tak.

[jaranna]

czyli:
\(\displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial t} = a \cdot \frac{\partial \psi}{\partial t} - a \cdot \frac{\partial \phi}{\partial t} \\
\frac{\partial ^{2} u}{\partial t^{2}} = a \frac{\partial}{\partial t} \left( a \cdot \frac{\partial \psi}{\partial t} - a \cdot \frac{\partial \phi}{\partial t} \right) - a \frac{\partial}{\partial t} \left( a \cdot \frac{\partial \psi}{\partial t} - a \cdot \frac{\partial \phi}{\partial t} \right)= 0}\)

tak?

[yorgin]

Nie. Źle liczysz drugie pochodne.

[jaranna]

Liczyłam tak jak tu jest pokazane:
254093.htm

[a4karo]

No nie. Przecież te pochodne są liczone w zupełnie róznych punktach:
\(\displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial x}(x,t)=\phi'(x-at)+\psi'(x+at)}\)
uwaga, \(\displaystyle{ \phi, \psi}\) sa funkcjami jednej zmiennej, więc pisanie \(\displaystyle{ \partial\psi/\partial t}\) ma mało sensu.
\(\displaystyle{ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t)=\phi''(x-at)+\psi''(x+at)}\)


Podobnie
\(\displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial t}(x,t)=-a\phi'(x-at)+a\psi'(x+at)}\) i
\(\displaystyle{ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}(x,t)=a^2\phi''(x-at)+a^2\psi''(x+at)=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t)}\)

[yorgin]

Liczymy drugą pochodną sumy dwóch funkji.

Jaka jest druga pochodna po \(\displaystyle{ t}\) z funkcji \(\displaystyle{ \phi(x-at)}\), a jaka z funkcji \(\displaystyle{ \psi(x+at)}\)?