miara produktowa

[acerr90]

Miara produktowa- dla danych dwóch miar miara okrelona na produktowej przestrzeni mierzalnej, która iloczynowi kartezjańskemu zbiorów mierzalnych przyporządkowuje iloczyn ich miar.

Znalazłem taki wzór:
\(\displaystyle{ (\mu_{1} \times \mu_{2})(B_{1} \times B_{2})=\mu_{1}(B_{1}) \cdot \mu_{2}(B_{2})}\)

co oznacza \(\displaystyle{ \mu}\) i \(\displaystyle{ B}\) ? a czym jest
\(\displaystyle{ \mu_{1}(B_{1}) \cdot \mu_{2}(B_{2})}\) ?

[bartek118]

\(\displaystyle{ \mu}\)- miara, \(\displaystyle{ B}\) - zbiór mierzalny.
Nie rozumiem, czego nie rozumiesz?

[acerr90]

a czym jest
\(\displaystyle{ \mu_{1}(B_{1}) \cdot \mu_{2}(B_{2})}\) ?
Jak czytać ten wzór, który napisałem...-- 9 cze 2014, o 13:08 --Co to jest zbiór mierzalny? Wiem co to jest przestrzeń mierzalna..

[bartek118]

Jak masz przestrzeń mierzalną \(\displaystyle{ (X, \mathfrak{m}, \mu)}\), to dowolny zbiór \(\displaystyle{ A \in \mathfrak{m}}\) nazywa się zbiorem mierzalnym.

\(\displaystyle{ \mu(A)}\) to miara tego zbioru; miara jest funkcją \(\displaystyle{ \mu : \mathfrak{m} \rightarrow [0, \infty]}\).

No to teraz jak mam dwie przestrzenie mierzalne \(\displaystyle{ (X_1, \mathfrak{m}_1, \mu_1), (X_2, \mathfrak{m}_2, \mu_2)}\) to ich produkt określamy jako:
\(\displaystyle{ (X_1 \times X_2, \sigma(\mathfrak{m}_1 \times \mathfrak{m}_2), \mu_1 \times \mu_2),}\)
gdzie miara produktowa zadana jest przez wzór:
\(\displaystyle{ (\mu_1 \times \mu_2)(A_1 \times A_2) = \mu_{1}(A_{1}) \cdot \mu_{2}(A_{2})}\)

[yorgin]

Sugestia - nauczmy się podstaw, by potem zabierać się za dalsze fakty. Tutaj brakuje wyraźnie podstaw, wróć więc do definicji miar, zbiorów mierzalnych i sigma ciał, bo dalsza nauka nie będzie miała większego sensu.

[acerr90]

a czy m to \(\displaystyle{ \sigma}\) ciało?

[bartek118]

a czy m to \(\displaystyle{ \sigma}\) ciało?

Tak. Przypomnij sobie czym jest przestrzeń mierzalna.