Całka trygonometryczna

[Poszukujaca]

Jak policzyć taką całkę?

\(\displaystyle{ \int \frac{\cos^{2}x}{\sin x \cos 3x} \mbox{d}x}\)

[Jelon]

zawsze można w ostateczności skorzystać z podstawienia uniwersalnego tylko najpierw trzeba jakoś mądrze tego \(\displaystyle{ cos3x}\) rozpisać masz jakiś pomysł na to?

[virtue]

\(\displaystyle{ \cos 3x=4\cos ^{2}x-3\cos x}\)

[Poszukujaca]

Doszłam do takiej postaci:

\(\displaystyle{ \int \frac{\ctg x}{4\cos^{2}x-3} \mbox{d}x}\)

Co można też zapisać:

\(\displaystyle{ \int \frac{\ctg x}{1-4\sin^{2}x} \mbox{d}x}\)

Tylko nie wiem co teraz zrobić.

[virtue]

\(\displaystyle{ \int \frac{\ctg x}{(1-2\sin x)(1+2\sin x)} \mbox{d}x}\)
I możesz rozbić na sumę ułamków

[Poszukujaca]

Otrzymałam coś takiego:

\(\displaystyle{ \ctg x = A +2A \sin x + B -2B \sin x}\)

Jak porównać współczynniki jeśli mam funkcje trygonometryczne?

[virtue]

ctgx mnożysz póżniej na razie \(\displaystyle{ \frac{1}{(1-2\sin x)(1+2\sin x)}= \frac{A}{1-2\sin x}+\frac{B}{1+2\sin x}}\)

[Poszukujaca]

\(\displaystyle{ A+B=1}\)

\(\displaystyle{ 0=2A \sin x -2B \sin x}\)

Co zrobić z tymi sinusami?

[virtue]

\(\displaystyle{ \begin{cases} 1=B+A \\ 0=2A-2B \end{cases}}\)

[Premislav]

Można też od razu, mając \(\displaystyle{ \int \frac{\ctg x}{(1-2\sin x)(1+2\sin x)} \mbox{d}x}\), rozpisać \(\displaystyle{ \ctg x}\) jako \(\displaystyle{ \frac{\cos x}{\sin x}}\), zastosować podstawienie \(\displaystyle{ t=\sin x}\), \(\displaystyle{ dt=\cos x \mbox{d}x}\) i zamiast po rozkładzie całkować przez części czy cuś, pojechać całość rozkładem "w jednym kawałku".

[Poszukujaca]

Premislav, właśnie tak zrobiłam.

Ale chyba wkradł się jakis błąd.

\(\displaystyle{ \int \frac{\ctg x \mbox{d}x }{(1-2\sin x)(1+\sin x)} = \frac{1}{4} \int \frac{\cos x \mbox{d}x }{\sin x(1-2\sin x)} +\frac{3}{4} \int \frac{\cos x \mbox{d}x }{\sin x(1+2\sin x)}}\)

\(\displaystyle{ t=\sin x}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{4} \int \frac{ \mbox{d}t }{t(1-2t)} +\frac{3}{4} \int \frac{ \mbox{d}t }{t(1+2t)}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{4} \int \frac{ \mbox{d}t }{t} +\frac{1}{2} \int \frac{ \mbox{d}t }{1-2t} +\frac{3}{4} \int \frac{ \mbox{d}t }{t} -\frac{6}{4} \int \frac{ \mbox{d}t }{1+2t}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{4} \ln|t| +\ln|1-2t|+\frac{3}{4} \ln|t|-3\ln|1+2t|}\)

\(\displaystyle{ \ln|t| + \ln(\frac{|1-2t|}{|1+2t|^{3}})}\)

[musialmi]

\(\displaystyle{ \left( \ln \left| 1-2t\right| \right) ^{\prime} = \frac{-2}{1-2t}}\), więc na pewno jest błąd ze znakiem. Ale jeśli chodziło ci o jakiś grubszy błąd, to jest on w rozkładzie na ułamki proste - w całkowaniu się nie dopatrzyłem.

[yorgin]

\(\displaystyle{ \cos 3x=4\cos ^{2}x-3\cos x}\)

Interesujące jest to, że przy źle wypisanym wzorze dalsze posty szły poprawnie

Oczywiście poprawny wzór to

\(\displaystyle{ \cos 3x=4\cos^3 x-3\cos x}\).

[Poszukujaca]

yorgin, to nie przypadek, ponieważ podstawiłam właściwą wersję wzoru

-- 13 cze 2014, o 19:51 --

Znalazłam błąd w rozkładzie na czynniki. Poza tym rzeczywiście zapomniałam o minusie przy pochodnej. Powinno być:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \ln|t| -2\ln|1-2t|+\frac{1}{2} \ln|t|-\ln|1+2t|}\)

\(\displaystyle{ \ln\left(\frac{|t|}{|(1-2t)^{2}(1+2t)|}\right)}\)

Jednak w odpowiedzi jest bez tej potęgi w mianowniku..