ugięcie belki

zyrafka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 62
Rejestracja: 24 maja 2013, o 15:26
Płeć: Kobieta
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 1 raz

ugięcie belki

Post autor: zyrafka » 11 cze 2014, o 15:44

Witam,
Zacznę od tego, że nie wiem czy w dobrym dziale piszę ten temat i z góry przepraszam jeśli w złym.
Kończę właśnie poprawki swojej pracy licencjackiej z przekształceń całkowych, mam w pracy ich zastosowania między innymi do statycznego ugięcia jednorodnej belki sprężystej, która spełnia równanie równowagi:
\(\displaystyle{ \frac{d^{4}y}{dx^{4}}= \frac{W(x)}{EI}=w(x)}\)
chce opisać dany wzór jednak nigdzie nie mogę znaleźć czym jest \(\displaystyle{ W(x)}\), wiem, że \(\displaystyle{ E}\) jest modułem Younga, a \(\displaystyle{ I}\) momentem bezwładności przekroju poprzecznego belki.
Czy mogę prosić o wyjaśnienie czym jest powyższe \(\displaystyle{ W(x)}\)?

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6400
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1031 razy

ugięcie belki

Post autor: kruszewski » 11 cze 2014, o 20:45

Dział jest odpowiedni.
Równanie różniczkowe linii ugięcia belki pryzmatycznej , co pociąga za sobą niezmienność przekroju poprzecznego wyprowadza się z równania na krzywiznę odkształconej osi belki by po pewnych technicznie uzasadnionych zabiegach otrzymać przybliżone równanie różniczkowe już łatwe do scałkowania:
\(\displaystyle{ E \cdot I \cdot \frac{d^2w}{dx^2}= +/- M}\)
Co najczęściej zapisuje się tak:
\(\displaystyle{ EIw''=-M(x)}\), znak minus ustalony jest na pewnej zasadzie, tu nie istotnej, określającej kierunek wybrzuszenia ugiętej belki.
Kolejne różniczkowanie tego równania podług argumentu x dają odpowiednio, wg tw. Szwedlera-Żurawskiego :
\(\displaystyle{ EIw''' = - \frac{dM}{dx} = -T(x)}\), gdzie T jest siłą poprzeczną w przekroju, oraz
\(\displaystyle{ EIw^I^V =q(x)}\)
Jest to najbardziej ogólne równanie różniczkowe odkształconej osi belki.
Przepisując równanie
\(\displaystyle{ \frac{d^{4}y}{dx^{4}}= \frac{W(x)}{EI}=w(x)}\)
widać takie analogie : \(\displaystyle{ w(x)}\) jest obciążeniem rozłożonym wzdłuż belki, nie koniecznie równomiernie. \(\displaystyle{ W(x)}\) jest siłą poprzeczną , ale wtedy napis tego równania musi być ciut inny \(\displaystyle{ \frac{d^{4}y}{dx^{4}}= \frac{d}{dx} \left( \frac{W(x)}{EI} \right)} = w(x)}\)
Ja jednak proponowałbym oznaczenia i napisy postaci równań takie, jak przyjmuje się w podręcznikach do nauki teorii sprężystości.

W.Kr.
Ostatnio zmieniony 11 cze 2014, o 23:17 przez kruszewski, łącznie zmieniany 1 raz.

zyrafka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 62
Rejestracja: 24 maja 2013, o 15:26
Płeć: Kobieta
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 1 raz

ugięcie belki

Post autor: zyrafka » 11 cze 2014, o 21:55

Dziękuję bardzo za obszerną odpowiedź!

Wzór na to równanie równowagi brałam z książki, na której głównie się opierałam pisząc swoją pracę. Jest to książka w języku angielskim o przekształceniach całkowych i ich zastosowaniu.

Ale mam rozumieć, że gdy napiszę ten wzór \(\displaystyle{ \frac{d^{4}y}{dx^{4}}= \frac{W(x)}{EI}=w(x)}\), to \(\displaystyle{ W(x)}\) również tu będzie siłą?

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6400
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1031 razy

ugięcie belki

Post autor: kruszewski » 11 cze 2014, o 23:15

No tak, w cudzych językach są cudze oznaczenia.
Czwarta pochodna przemieszczenia wzdłuż osi rzędnych linii środkowej belki podług argumentu to pochodna trzeciej pochodnej czyli tak jak napisałem ;
\(\displaystyle{ \frac{d^{4}y}{dx^{4}}= \left( \frac{W(x)}{EI} \right)' = \frac{d}{dx}\left( \frac{W(x)}{EI} \right) = w(x)}\)
Ale oczywista trzeba napisać co je co. Czyli \(\displaystyle{ W(x)}\) siła poprzeczna a \(\displaystyle{ w(x)}\) obciążenie ciągłe wzdłuż belki.
Ale będzie to niby poprawnie a dla każdego ciut znającego teorię sprężystości bardzo dziwnie wyglądające. Proszę poczytać etymologie oznaczeń, w tym styczne ( przyśpieszenie)
oznaczane z greki przez \(\displaystyle{ \tau}\) a stąd T- poprzeczna bo też styczna do przekroju.
W poprzednim liście zrobiłem korektę. Umknął mi mianownik w ostatnim wzorku. Dopisałem.
W.Kr.-- 12 cze 2014, o 00:22 --I ma teraz pytanie, czy rozumie Pani sens tego równania. Szczególnie to, że może nie być wzdłuż belki rozłożonego obciążenia ciągłego.Owego w(x), a po ludzku q(x).
Wtedy równanie \(\displaystyle{ EI \cdot y^I^V=0}\)
I po kolejnych całkowaniach mamy:
\(\displaystyle{ EIy'''=A}\)
\(\displaystyle{ EIy'' = Ax+B}\)
\(\displaystyle{ EIy' = \frac{1}{2} Ax^2 +Bx +C}\)
\(\displaystyle{ EIy= \frac{1}{6} Ax^3 + \frac{1}2} B x^2 +Cx+D}\)
Gdzie A, B, C i D są stałymi całkowania określanymi z warunków początkowych ( brzegowych) zależnymi od sposobu podparcia belki.
Właśnie tu chcę zwrócić uwagę na ten brak obciążenia ciągłego i dalsze stąd konsekwencje.

Problem ten jest bardzo dobrze wyłożony w :
Janusz Walczak, Wytrzymałość materiałów oraz podstawy teorii sprężystości i plastyczności. Tom I, par.84 Równanie różniczkowe linii ugięcia (belki).
W Krakowie w Bibliotece PK powinien być osiągalny.
W.Kr.

zyrafka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 62
Rejestracja: 24 maja 2013, o 15:26
Płeć: Kobieta
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 1 raz

ugięcie belki

Post autor: zyrafka » 12 cze 2014, o 13:34

Nie wiem, czy to rozumiem... umiem doskonale rozwiązywać równania różniczkowe, całkowe i tego dotyczy głównie moja praca. Nigdy nie lubiłam i chyba nie polubię zagadnień z fizyki i z nią związanych.

Promotor po prostu poprosił bym nazwała tą zmienną, a miałam z tym problem, ponieważ w książce, w której było to równanie napisane jest jedynie, ze jest przyłożona na jednostkę długości belki.

Ale bardzo dziękuję za naprawdę obszerne odpowiedzi!

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6400
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1031 razy

ugięcie belki

Post autor: kruszewski » 12 cze 2014, o 13:41

Zatem jest to obciążenie ciągłe, co nie oznacza jednakowe, rozłożone wzdłuż belki z intensywnością opisaną formułą w(x) i mające wymiar fizyczny niutonów na metr (bieżący długości) wzdłuż belki.
Czyli jak piszą fizycy \(\displaystyle{ \frac{N}{m}}\).
Idąc dalej można napisać, że trzecia pochodna ma wymiar fizyczny siły [N], druga wymiar momentu siły,
iloczynu siły i ramienia na którym działa, czyli [Nm].
Pierwsza ma wymiar kąta w mierze łukowej jaki tworzy styczna do linii ugięcia.
Zaś całka tego równania ma wymiar przemieszczenia, czyli długości [m].
Piszę o tym, zdając sobie sprawę że marudzę, ale mniemam, że te informacje pozwolą na sprawdzenie poprawności w wyliczaniu między innymi stałych całkowania.
W.Kr.

ODPOWIEDZ