Podprzestrzeń Haara

[Przemo10]

Udowodnić, że \(\displaystyle{ span (1,x^2,x^3)}\) jest podprzestrzenią Haara w \(\displaystyle{ C[0,1]}\) oraz pokazać, że nie jest dla \(\displaystyle{ C[-1, 1 ]}\)

[szw1710]

Robimy to za pomocą wyznacznika.

Przestrzeń Haara jest generowana przez układ Czebyszewa. Sprawdź że te jednomiany raz są, a raz nie są takim układem.

Innym warunkiem równoważnym na bycie przestrzenią Haara jest to, że każdy "wielomian" (czyli kombinacja liniowa) względem bazy ma co najwyżej (tutaj) dwa miejsca zerowe.

Więc możesz pokazać, że na \(\displaystyle{ [0,1]}\) każdy wielomian postaci \(\displaystyle{ a+bx^2+cx^3}\) ma co najwyżej dwa miejsca zerowe. Na \(\displaystyle{ [-1,1]}\) wskaż wielomian tej postaci, który ma więcej niż dwa miejsca zerowe. Np. jest nim \(\displaystyle{ x^3-x^2}\). Ma trzy miejsca zerowe (zauważ, że w \(\displaystyle{ [0,1]}\) tylko dwa).

[Przemo10]

Ok rozumiem. Ale , czy ten wielomian na kontrprzykład nie ma przypadkiem\(\displaystyle{ 3}\) miejsc zerowch , chyba , że traktujemy pierwiastki podwójne jako jedno miejsce zerowe

[szw1710]

Owszem - źle policzyłem. Spróbuj znaleźć kontrprzykład sam.

Wielomian \(\displaystyle{ x^3-x^2+0.1}\) pasuje. Zrobiłem sobie wykres, ale wiadomo, o co chodzi.

Inny warunek równoważny to jednoznaczność interpolacji "wielomianowej". Mianowicie, dla dowolnych \(\displaystyle{ x_1,x_2,x_3\in[a,b]}\) i dla dowolnych \(\displaystyle{ y_1,y_2,y_3\in\RR}\) istnieje dokładnie jedna funkcja postaci \(\displaystyle{ w(x)=a+bx^2+cx^3}\) taka, że \(\displaystyle{ w(x_i)=y_i}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2,3}\). Oznacza to, że biorąc \(\displaystyle{ y_1=y_2=y_3=0}\) dostaniemy, że jedyną funkcją tej postaci interpolującą zera jest wielomian zerowy. Więc nie może być trzech różnych miejsc zerowych. Widać z tego rozumowania, że krotności nie wchodzą w grę.

[Przemo10]

kontrprzykład:\(\displaystyle{ (x- \frac{1}{4} )(x- \frac{1}{3} )(x+ \frac{1}{7} )}\). Pierwsza część tez już mam z tej definicji. dziękuje za pomoc

[szw1710]

Nie ma sprawy. Przykład jeszcze lepszy niż mój. Widać, że zrozumiałeś ideę.

O układach Czebyszewa i związanych z nimi przestrzeniach Haara mówi monografia tej dziedziny, absolutny klasyk. Jest to książka Karlina i Studdena "Tchebyscheff systems". Wystarczy przeczytać pierwszy rozdział, aby odkryć piękne, głębokie i zadziwiające analogie z wielomianami. Cała analiza numeryczna stoi na układach Czebyszewa.

[Kaleo]

Przepraszam, nie rozumiem jak pokazać, że ten wielomian na [0,1] nie może mieć trzech miejsc zerowych. Czy mogłabym prosić o pomoc?

[szw1710]

Bo przecież jako wielomian trzeciego stopnia ma co najwyżej trzy pierwiastki. A jeden z nich jest ujemny. W czym problem?

[Kaleo]

Skąd wiadomo, że jest on ujemny?

[szw1710]

Bo ma wartość \(\displaystyle{ -\frac{1}{7}}\). Chyba że odnoszę się nie do tego fragmentu dyskusji.

[Kaleo]

Chodzi mi o ten ogólny wielomian \(\displaystyle{ a+bx^{2}+cx^{3}}\). Żeby pokazać, że ta podprzestrzeń jest podprzestrzenią Haara w C([0,1]).

[szw1710]

Zbadaj więc odpowiedni wyznacznik, jak sugerowałem na początku. Masz też \(\displaystyle{ w(x)=a+bx^2+cx^3}\). Szukamy pierwiastków w \(\displaystyle{ [0,1]}\). Jest to równoważne z szukaniem pierwiastków wielomianu \(\displaystyle{ bx^2+cx^3}\) w \(\displaystyle{ [-1-a,1-a]}\). Tak też możesz próbować. Więcej nie powiem ze względu na zmęczenie dniem i całodzienną wycieczką. Powrócę do dyskusji jutro. Dobrej nocy.