Granica funkcji w punkcie równa zero i warunek...

[white_chocolate]

Czy mógłby mi ktoś wyjaśnić skąd wynika taki oto warunek:
Jeżeli \(\displaystyle{ f'(x)=0}\) i \(\displaystyle{ \epsilon>0}\) to istnieje \(\displaystyle{ \delta>0}\) taka, że dla \(\displaystyle{ |t-x|<\delta}\) mamy
\(\displaystyle{ |f(t)-f(x)|\leq \epsilon|t-x|}\)? Bardzo proszę o pomoc i z góry dziękuję.

[a4karo]

Bo \(\displaystyle{ \lim_{t\to x}\frac{f(t)-f(x)}{t-x}=0}\).

[white_chocolate]

Wiem, że z tego warunku, który zapisałeś wynikałoby, że ta pochodna jest równa 0, ale czy z tego, że \(\displaystyle{ \frac{|f(t)-f(x)|}{|t-x|}<\epsilon}\) wynika, że taka granica, jaką zapisałeś jest równa 0? Próbowałam to połączyć z definicja granicy, ale dalej czegoś tu nie rozumiem.

[a4karo]

No to napisz definicję granicy: dla każdego epsilon isnieje taka delta, ze dla ....

[white_chocolate]

no właśnie tam jest dalej, że dla wszystkich t z tego, że \(\displaystyle{ |t-x|<\delta}\) wynika, że \(\displaystyle{ |f(t)-0|<\epsilon}\) chyba, że coś pomyliłam:P Dobra, coś chyba pomyliłam, gdzie wstawić to 0?

[a4karo]

Pomyliłąs: tego, że \(\displaystyle{ |t-x|<\delta}\) wynika, że \(\displaystyle{ \left|\frac{f(t)-f(x)}{t-x}\right|<\epsilon}\)

Dalej sama

[white_chocolate]

Dobra, już rozumiem, bo to ma być granica tej funkcji z ułamka a nie f(x). Ok, przepraszam za zamieszanie i dziękuję