różnowartościowość funkcji
-
- Użytkownik
- Posty: 76
- Rejestracja: 2 cze 2014, o 19:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 24 razy
różnowartościowość funkcji
Jak wykazać różnowartościowość \(\displaystyle{ f(x)=2^x}\) w \(\displaystyle{ R}\) bez pomocy granic? Czy to w ogóle możliwe?
-
- Użytkownik
- Posty: 76
- Rejestracja: 2 cze 2014, o 19:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 24 razy
- mortan517
- Użytkownik
- Posty: 3359
- Rejestracja: 6 lis 2011, o 15:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Krk
- Podziękował: 112 razy
- Pomógł: 662 razy
różnowartościowość funkcji
Funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych dwóch elementów \(\displaystyle{ a,b \in X}\) spełniony jest warunek: \(\displaystyle{ a \neq b \Rightarrow f(a) \neq f(b)}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 76
- Rejestracja: 2 cze 2014, o 19:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 24 razy
różnowartościowość funkcji
No ok, ale jak pokazać bez granic, że jeśli \(\displaystyle{ a \neq b}\) to \(\displaystyle{ 2^a \neq 2^b}\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 1923
- Rejestracja: 30 lis 2013, o 13:26
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 326 razy
różnowartościowość funkcji
Założenie
\(\displaystyle{ x_2 \neq x_1}\)
\(\displaystyle{ f(x_2)-f(x_1) \neq 0}\)
\(\displaystyle{ f(x_2)-f(x_1) =2^{x_2}-2^{x_1} \neq 0}\)
\(\displaystyle{ x_2 \neq x_1}\)
\(\displaystyle{ f(x_2)-f(x_1) \neq 0}\)
\(\displaystyle{ f(x_2)-f(x_1) =2^{x_2}-2^{x_1} \neq 0}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
różnowartościowość funkcji
Tutaj nie zostało pokazane, że jeśli \(\displaystyle{ x_2 \neq x_1}\) to z tego wynika: \(\displaystyle{ 2^{x_2}-2^{x_1} \neq 0}\).Ania221 pisze:Założenie
\(\displaystyle{ x_2 \neq x_1}\)
\(\displaystyle{ f(x_2)-f(x_1) \neq 0}\)
\(\displaystyle{ f(x_2)-f(x_1) =2^{x_2}-2^{x_1} \neq 0}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
- mortan517
- Użytkownik
- Posty: 3359
- Rejestracja: 6 lis 2011, o 15:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Krk
- Podziękował: 112 razy
- Pomógł: 662 razy
różnowartościowość funkcji
\(\displaystyle{ x_2 \neq x_1 \Rightarrow x_2 - x_1 \neq 0}\)
\(\displaystyle{ f(x_2) \neq f(x_1) \\ \frac{f(x_2)}{f(x_1)} \neq 1 \\ \frac{2^{x_2}}{2^{x_1}} \neq 2^0 \\ 2^{x_2 - x_1} \neq 2^0}\)
\(\displaystyle{ f(x_2) \neq f(x_1) \\ \frac{f(x_2)}{f(x_1)} \neq 1 \\ \frac{2^{x_2}}{2^{x_1}} \neq 2^0 \\ 2^{x_2 - x_1} \neq 2^0}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
różnowartościowość funkcji
W dowodzie (ostatnia linijka) korzystasz z tezy!mortan517 pisze:\(\displaystyle{ x_2 \neq x_1 \Rightarrow x_2 - x_1 \neq 0}\)
\(\displaystyle{ f(x_2) \neq f(x_1) \\ \frac{f(x_2)}{f(x_1)} \neq 1 \\ \frac{2^{x_2}}{2^{x_1}} \neq 2^0 \\ 2^{x_2 - x_1} \neq 2^0}\)
- mortan517
- Użytkownik
- Posty: 3359
- Rejestracja: 6 lis 2011, o 15:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Krk
- Podziękował: 112 razy
- Pomógł: 662 razy
różnowartościowość funkcji
Fakt, powielam ten sam błąd.
Niepotrzebnie kombinuję, wystarczy wziąć to co ma Ania221 i zlogarytmować.
\(\displaystyle{ f(x_2) \neq f(x_1) \\ 2^{x_1} \neq 2^{x_2} \\ \log_2 2^{x_1} \neq \log _2 2^{x_2} \\ x_1 \neq x_2}\)
Niepotrzebnie kombinuję, wystarczy wziąć to co ma Ania221 i zlogarytmować.
\(\displaystyle{ f(x_2) \neq f(x_1) \\ 2^{x_1} \neq 2^{x_2} \\ \log_2 2^{x_1} \neq \log _2 2^{x_2} \\ x_1 \neq x_2}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
różnowartościowość funkcji
Teraz pokazałeś \(\displaystyle{ f(x_2) \neq f(x_1) \ \Rightarrow \ x_1 \neq x_2}\), a chcemy mieć w drugą stronę.
-
- Administrator
- Posty: 34549
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5226 razy
różnowartościowość funkcji
Co jest równoważne temu, że \(\displaystyle{ x_1=x_2 \Rightarrow f(x_1)=f(x_2)}\), nie jest to zatem bardzo odkrywcze...kamil13151 pisze:Teraz pokazałeś \(\displaystyle{ f(x_2) \neq f(x_1) \ \Rightarrow \ x_1 \neq x_2}\),
JK