różnowartościowość funkcji

[rozprzedstud]

Jak wykazać różnowartościowość \(\displaystyle{ f(x)=2^x}\) w \(\displaystyle{ R}\) bez pomocy granic? Czy to w ogóle możliwe?

[Ania221]

Z definicji ?

[rozprzedstud]

Na przykład z definicji.

[ravgirl]

No... to jak brzmi definicja różnowartościowości funkcji?

[mortan517]

Funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych dwóch elementów \(\displaystyle{ a,b \in X}\) spełniony jest warunek: \(\displaystyle{ a \neq b \Rightarrow f(a) \neq f(b)}\).

[rozprzedstud]

No ok, ale jak pokazać bez granic, że jeśli \(\displaystyle{ a \neq b}\) to \(\displaystyle{ 2^a \neq 2^b}\)?

[Ania221]

Założenie
\(\displaystyle{ x_2 \neq x_1}\)
\(\displaystyle{ f(x_2)-f(x_1) \neq 0}\)
\(\displaystyle{ f(x_2)-f(x_1) =2^{x_2}-2^{x_1} \neq 0}\)

[kamil13151]

Założenie
\(\displaystyle{ x_2 \neq x_1}\)
\(\displaystyle{ f(x_2)-f(x_1) \neq 0}\)
\(\displaystyle{ f(x_2)-f(x_1) =2^{x_2}-2^{x_1} \neq 0}\)

Tutaj nie zostało pokazane, że jeśli \(\displaystyle{ x_2 \neq x_1}\) to z tego wynika: \(\displaystyle{ 2^{x_2}-2^{x_1} \neq 0}\).

[Ania221]

no jak nie?
\(\displaystyle{ 2^{x_2} \neq 2^{x_1}}\)
więc ich różnica nie może być zero.

[kamil13151]

Zatem powiedz mi z jakiej własności tutaj korzystasz?

[mortan517]

\(\displaystyle{ x_2 \neq x_1 \Rightarrow x_2 - x_1 \neq 0}\)

\(\displaystyle{ f(x_2) \neq f(x_1) \\ \frac{f(x_2)}{f(x_1)} \neq 1 \\ \frac{2^{x_2}}{2^{x_1}} \neq 2^0 \\ 2^{x_2 - x_1} \neq 2^0}\)

[kamil13151]

\(\displaystyle{ x_2 \neq x_1 \Rightarrow x_2 - x_1 \neq 0}\)

\(\displaystyle{ f(x_2) \neq f(x_1) \\ \frac{f(x_2)}{f(x_1)} \neq 1 \\ \frac{2^{x_2}}{2^{x_1}} \neq 2^0 \\ 2^{x_2 - x_1} \neq 2^0}\)

W dowodzie (ostatnia linijka) korzystasz z tezy!

[mortan517]

Fakt, powielam ten sam błąd.

Niepotrzebnie kombinuję, wystarczy wziąć to co ma Ania221 i zlogarytmować.

\(\displaystyle{ f(x_2) \neq f(x_1) \\ 2^{x_1} \neq 2^{x_2} \\ \log_2 2^{x_1} \neq \log _2 2^{x_2} \\ x_1 \neq x_2}\)

[kamil13151]

Teraz pokazałeś \(\displaystyle{ f(x_2) \neq f(x_1) \ \Rightarrow \ x_1 \neq x_2}\), a chcemy mieć w drugą stronę.

[Jan Kraszewski]

Teraz pokazałeś \(\displaystyle{ f(x_2) \neq f(x_1) \ \Rightarrow \ x_1 \neq x_2}\),

Co jest równoważne temu, że \(\displaystyle{ x_1=x_2 \Rightarrow f(x_1)=f(x_2)}\), nie jest to zatem bardzo odkrywcze...

JK