Pola płatów

[Samlor]

Oblicz pola płatów:

1.\(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2}+z ^{2}=R ^{2}, x ^{2}+y ^{2}-Rx \le 0}\)

2.\(\displaystyle{ z= \sqrt{x ^{2}+y ^{2} }}\) \(\displaystyle{ 1 \le z \le 2}\)

[kerajs]

Wskazówki :
1. Obszar całkowania to koło:
\(\displaystyle{ \left( x - \frac{R}{2}\right) ^{2}+y ^{2}\le \left( \frac{R}{2}\right) ^{2}}\)

2. Obszar całkowania to pierścień zawarty między okręgami:
o1:
\(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2} =1}\)
o2:
\(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2} =2 ^{2}}\)

[Samlor]

1.
Obszar całkowania we współrzędnych biegunowych:

\(\displaystyle{ D: \begin{cases} 0\le \phi \le \pi \\ 0\le r \le 2r \cos \phi=R\cos \phi\end{cases}}\)

Funkcja \(\displaystyle{ z=f(x,y)= \sqrt{R ^{2}-x ^{2}-y ^{2} }}\) górna półsfera oraz

\(\displaystyle{ z=f(x,y)= -\sqrt{R ^{2}-x ^{2}-y ^{2} }}\) dolna półsfera.

\(\displaystyle{ \left| \Sigma \right|=\iint_{D} \sqrt{1+\left( \frac{-2x}{2 \sqrt{R^2-x^2-y^2 } } \right) ^{2}+\left( \frac{-2y}{2 \sqrt{R ^{2}-x ^{2}-y ^{2} } }\right) ^{2}}dxdy}\)

\(\displaystyle{ +\iint_{D} \sqrt{1+\left( \frac{2x}{2 \sqrt{R ^{2}-x ^{2}-y ^{2} } }\right) ^{2}+\left( \frac{2y}{2 \sqrt{R ^{2}-x ^{2}-y ^{2} } }\right) ^{2}}dxdy=2\iint_{D} \frac{R}{ \sqrt{R ^{2}-x ^{2}-y ^{2} } }dxdy}\)

Teraz wprowadzając współrzędne biegunowe w całce podwójnej:

\(\displaystyle{ 2\iint_{D} \frac{R}{ \sqrt{R ^{2}-x ^{2}-y ^{2} } }dxdy=2\int\limits_{0}^{\pi}d\phi \int\limits_{0}^{R\cos\phi} \frac{Rr}{ \sqrt{R ^{2}-r ^{2} }}dr=-2R ^{2} \int\limits_{0}^{\pi} \sqrt{\sin ^{2}\phi }d\phi=-2R ^{2} \int\limits_{0}^{\pi}\sin \phi d\phi=-2R ^{2}}\)

Coś jest źle ?

[kerajs]

Żle wyliczyłeś granice dla r
Wg mnie powinno być tak:
\(\displaystyle{ 0 \le r \le \frac{R}{\cos \phi}}\)
Do momentu wykorzystania ich w całce podwójnej wszystko policzone jest prawidłowo