iloczyn pierścieni całkowitych

[anilahcim]

Jak wykazać, że iloczyn dwóch lub więcej pierścieni całkowitych nigdy nie jest pierścieniem całkowitym?

[Kmitah]

Zauważ, że dla dowolnych pierścieni \(\displaystyle{ R_1, R_2}\) (a więc również i całkowitych), w pierścieniu \(\displaystyle{ R_1 \times R_2}\) mamy: \(\displaystyle{ (a, 0_2)\cdot (0_1, b) = (0_1, 0_2)= 0}\), dla dowolnych \(\displaystyle{ a \in R_1, b \in R_2}\), zatem pierścień \(\displaystyle{ R_1 \times R_2}\) nigdy nie będzie całkowity, niezależnie od całkowitości pierścieni \(\displaystyle{ R_1}\) oraz \(\displaystyle{ R_2}\).