Sila centralna, sprawdzenie

[aquance]

Jesli wartosc sily zalezy jedynie od odleglosci r od centrum sily to mozemy zapisac \(\displaystyle{ F=-f(r) \frac{\vec{r}}{r}}\), gdzie \(\displaystyle{ f(r)}\) jest pewna funkcja odleglosci, a \(\displaystyle{ r=(x,y,z)}\). Pokaz ze jest to sila potencjalna. Policz Ep gdy \(\displaystyle{ f(r)=\frac{a}{r^{2}}}\), gdzie k jest stala. Przy calkowaniu skorzystaj z\(\displaystyle{ \vec{r}d\vec{r}=\frac{dr^{2}}{2}}\)

Wiec zapisalem sobie sile F jako \(\displaystyle{ \left( -\frac{f(r)x}{r}, -\frac{f(r)y}{r},-\frac{f(r)z}{r} \right)}\) nastepnie podstawilem f(r) - \(\displaystyle{ \left( -\frac{ax}{r^{3}}, -\frac{ay}{r^{3}},-\frac{az}{r^{3}} \right)}\). Policzylem rotacje, wyszla 0 wiec sila jest zachowawcza, nastepnie rownania:

\(\displaystyle{ -\frac{ax}{r^{3}} = \frac{dE}{dx}}\)
\(\displaystyle{ -\frac{ay}{r^{3}} = \frac{dE}{dy}}\)
\(\displaystyle{ -\frac{az}{r^{3}} = \frac{dE}{dz}}\)

i E wyszła \(\displaystyle{ -\frac{a}{2r^{3}}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) + C}\) Czy gdzies popelnilem blad? Nie wiem gdzie mialem skorzystac z \(\displaystyle{ \vec{r}d\vec{r}=\frac{dr^{2}}{2}}\)

[SidCom]

\(\displaystyle{ rot \vec{F}= \nabla \times \left(\frac{-f(r)}{r}\vec{r}\right)
=grad \left(\frac{-f(r)}{r}\right)\times \vec{r}+\frac{-f(r)}{r}\cdot rot \vec{r}}\)

oba człony znikają i mamy pole potencjalne...

różniczka
\(\displaystyle{ \vec{r}d\vec{r}=d\left(\frac{r^{2}}{2}\right)}\)

[aquance]

EDIT: Dla ludzi ktorzy mysleli podobnie o tym zadaniu i nie znalezli odpowiedzi tutaj - napisalem taki sam temat na pewnym angielskim forum i pomogli mi tam w ciagu jednego dnia:


Prosilbym o wyjasnienie:

a) skad sie wziely oba czlony

b) co mam zle - czy nie mozna zapisac sily F tak jak ja to zrobilem? tzn wlaczajac f(r) do wektora

c) gdzie tam jest pole potencjalne i co zrobić zeby otrzymac energie?