długość krzywej w podanym przedziale.

[mooniika]

Dzień dobry.
Mam obliczyć długość krzywej na podanym przedziale:
\(\displaystyle{ \sqrt{1 - x^{2} }}\) dla \(\displaystyle{ x \left[ - \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right]}\)
Dochodzę do postaci \(\displaystyle{ \int \sqrt{1 - \frac{ x^{2} }{1 - x ^{2} } }dx}\)
no i nie wiem jak to rozwiązać...
Pozdrawiam serdecznie i czekam na odpowiedzi.

[Poszukujaca]

Trzeba policzyć całkę niewymierną. Zauważ, że po sprowadzeniu do wspólnego mianownika, zostanie w liczniku 1.

[mooniika]

Chciałabym, żeby tak było, ale mi wychodzi w liczniku \(\displaystyle{ 1 - 2 x ^{2}}\)

[Poszukujaca]

Masz rację, mój błąd. Dalej zostaje nam całka niewymierna. Trzeba ją jakoś sprytnie policzyć.

[SidCom]

Masz błąd: nie \(\displaystyle{ \int \sqrt{1 - \frac{ x^{2} }{1 - x ^{2} } }dx}\)

tylko\(\displaystyle{ \int \sqrt{1 + \frac{ x^{2} }{1 - x ^{2} } }dx}\)

po uproszczeniu masz całkę

\(\displaystyle{ \int\frac{dx}{ \sqrt{1-x^2} }}\)

podstaw \(\displaystyle{ x=\sin{t}}\)

[mooniika]

Chyba widzę mój błąd... Jeszcze sprawdzę...-- 31 maja 2014, o 14:41 --Widzę, że kolega mnie ubiegł Wynik to \(\displaystyle{ arcsinx}\). Teraz tylko podstawić. Dziękuję za pomoc!