rownoważność homotopijna punktu i przestrzeni Euklidesowej

[Jacek_fizyk]

Chce pokazac, ze \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{n}}\) oraz \(\displaystyle{ 0}\) so homotopijnie rownowazne.
Rozwazmy dwie funkcje :

\(\displaystyle{ i:\{0\}\to \mathbb{R}^{n}}\)
\(\displaystyle{ p:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{0}}\)

wtedy \(\displaystyle{ p\circ i=id_{0}}\)

ale \(\displaystyle{ i\circ p}\) jest rzutem dlatego, ze \(\displaystyle{ (i\circ p)\circ (i\circ p)=i\circ p}\). Teraz musze pokazac, ze \(\displaystyle{ i\circ p}\) jest homotopijne z \(\displaystyle{ id_{\RR^n}}\) W tekscie mam, ze nalezy wziąć
\(\displaystyle{ H(x,t):=tx}\)

Zgodnie z definicja \(\displaystyle{ X,Y}\) sa homotopijnie rownowazne jesli \(\displaystyle{ f:X\to Y}\) oraz \(\displaystyle{ g:Y\to X}\) ciagle oraz \(\displaystyle{ fg}\) homotopijne z \(\displaystyle{ id_{Y}}\) oraz \(\displaystyle{ gf}\) homotopijne z \(\displaystyle{ id_{X}}\)

wiec \(\displaystyle{ p\circ i=id_{0}}\) jest trywialnie homotopijne z \(\displaystyle{ id_{0}}\), to co zostaje to pokazanie, ze \(\displaystyle{ i\circ p}\) jest homotopijne z \(\displaystyle{ id_{\mathbb{R}^{n}}}\)

Nie bardzo rozumiem jak ta homotopia tutaj dziala
\(\displaystyle{ H(x,t)=tx}\) bo jesli \(\displaystyle{ t=0}\) to \(\displaystyle{ H(x,t)=0}\) a jesli \(\displaystyle{ t=1}\) to \(\displaystyle{ H(x,1)=x}\) a to powinno odpowiadac \(\displaystyle{ id_{\mathbb{R}^{n}}}\) oraz \(\displaystyle{ i\circ p}\)

czegos tutaj nie widze...dzieki za wytlumaczenie

[yorgin]

Nie bardzo rozumiem jak ta homotopia tutaj dziala
\(\displaystyle{ H(x,t)=tx}\) bo jesli \(\displaystyle{ t=0}\) to \(\displaystyle{ H(x,t)=0}\) a jesli \(\displaystyle{ t=1}\) to \(\displaystyle{ H(x,1)=x}\) a to powinno odpowiadac \(\displaystyle{ id_{\mathbb{R}^{n}}}\) oraz \(\displaystyle{ i\circ p}\)

czegos tutaj nie widze...dzieki za wytlumaczenie

Masz dla każdego \(\displaystyle{ x, H(x,0)=0=\mbox{c}_0(x)}\), więc istotnie \(\displaystyle{ H(\cdot, 0)=\mbox{id}_0 = i\circ p}\). Podobnie \(\displaystyle{ H(x,1)=x=\mbox{id}_{\RR^n}(x)}\) i \(\displaystyle{ H(\cdot, 1)=\mbox{id}_{\RR^n}}\). Wszystko się zgadza, trzeba tylko dobrze się temu przyjrzeć.

Ja przez \(\displaystyle{ \mbox{c}_0}\) oznaczam odwzorowanie \(\displaystyle{ \mbox{c}_0:\RR^n\ni x\mapsto 0\in \mathbf{0}}\).

[Jacek_fizyk]

Masz dla każdego \(\displaystyle{ x, H(x,0)=0=\mbox{c}_0(x)}\), więc istotnie \(\displaystyle{ H(\cdot, 0)=\mbox{id}_0 = i\circ p}\).

Dzieki, za podjecie tematu, mam tylko jedno pytanie:

Dlaczego \(\displaystyle{ H(\cdot, 0)=\mbox{id}_0 = i\circ p}\) przeciez \(\displaystyle{ p\circ i=id_{0}}\)??? nie powinno zatem byc \(\displaystyle{ H(\cdot, 0)=\mbox{id}_0 = p\circ i}\) ?

W tym przypadku jest dla mnie jasne, ze: \(\displaystyle{ H(x,1)=x=\mbox{id}_{\RR^n}(x)}\) i \(\displaystyle{ H(\cdot, 1)=\mbox{id}_{\RR^n}}\)

[yorgin]

Dlaczego \(\displaystyle{ H(\cdot, 0)=\mbox{id}_0 = i\circ p}\) przeciez \(\displaystyle{ p\circ i=id_{0}}\)??? nie powinno zatem byc \(\displaystyle{ H(\cdot, 0)=\mbox{id}_0 = p\circ i}\) ?

Tam miało być \(\displaystyle{ H(\cdot, 0)=\mbox{c}_0=i\circ p}\). Przy kopiowaniu zapomniałem zamienić znaczki.

Odwzorowanie \(\displaystyle{ i\circ p}\) posyła każdy punkt \(\displaystyle{ \RR^n}\) w zero. Nie jest więc równe odwzorowaniu identycznościowemu na przestrzeni zerowej.