Całka nieskierowana

[Warlok20]

Witam.

Żeby nie pisać kolejnych tematów, będę w tym temacie zadawał wszelkie pytania dotyczące całki nieskierowanej.

Oblicz całkę \(\displaystyle{ \int_{L}^{}xydl}\), gdzie \(\displaystyle{ L}\) jest częścia elipsy \(\displaystyle{ \frac{x ^{2} }{a ^{2} } +\frac{y ^{2} }{b ^{2} }=1}\) leżącą w pierwszej ćwiartce.

\(\displaystyle{ x=a \cos t}\)
\(\displaystyle{ y=b \sin t}\)
\(\displaystyle{ t \in \left\langle 0, \frac{ \pi }{2} \right\rangle}\)

\(\displaystyle{ \int_{0}^{\frac{ \pi }{2}}[\arccos t\sin t \sqrt{a ^{2}\sin ^{2}t+b ^{2}\cos t} ]dt}\)

No i tutaj stoję, bo nie wiem czy podstawić, czy może przez części albo jakąś metodą?

[jarzabek89]

Wydaje mi się że skoro sinus pod pierwiastkiem jest do kwadratu to i cosinus powinien być
A a co do samej całki.
Podstawienie przykładowo:
\(\displaystyle{ t=sin^2x}\)
A \(\displaystyle{ cos^2x}\) zamienisz na sinusa z jedynki trygonometrycznej.

[lokas]

Po pierwsze to masz złą całkę
\(\displaystyle{ \int_{L}^{}xydl=\int_{0}^{\frac{ \pi }{2}}[ab\cos t\sin t \sqrt{a ^{2}\sin ^{2}t+b ^{2}\cos ^2 t } ] \mbox{d}t}\)
Podstawiasz \(\displaystyle{ \sin ^2 t=u}\) dalej już poleci z góry.

[Warlok20]

Dzięki wielkie.

[denatlu]

Obszarem całkowania jest elipsa a nie okrąg, tak więc raczej trzeba zamienić tę całkę na współrzędne eliptycznie, nie biegunowe. Da to:

\(\displaystyle{ x=a r \cos t}\)
\(\displaystyle{ y= b r \sin t}\)

\(\displaystyle{ J=abr}\)

i dalej możesz liczyć

[jarzabek89]

denatlu, czym będzie \(\displaystyle{ r}\) w Twoim przypadku?

[denatlu]

promieniem okręg, myślałem że to akurat będzie jasne

[jarzabek89]

Jest to dla mnie jasne. Czekałem na tą odpowiedź szczerze mówiąc.
W takim razie będziesz tutaj całkował po powierzchni, a nie po krzywej