Granica funkcji dwóch zmiennych

[czeslaw]

Witam,
do policzenia jest granica jak następuje:
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (0,0)} (x^2 + y^2) \sin \frac{1}{xy}}\)

Pierwsze co zastanawia, sinus w nieskończoności - na pewno nie istnieje. Ale z drugiej strony, sinus jest ograniczony.
A pierwszy czynnik ewidentnie dąży do 0.

Ponoć, jeśli \(\displaystyle{ f(x,y)}\) jest ograniczona, a

\(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (a,b)} g(x,y) = 0}\), to:

\(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y) \cdot g(x,y) = 0}\).

Przejście na współrzędne biegunowe też daje podobny efekt - granica \(\displaystyle{ \lim_{r \to 0} r^2 \sin \frac{1}{r^2 \sin\alpha \cos\alpha}}\).

Wychodziłoby z tego, że szukaną granicą jest 0, ale Wolphram zwraca jednak brak granicy.

Nie kojarzę żadnego przypadku, w którym byłbym mądrzejszy od narzędzi takich jak Mathematica albo Wolfram Alpha - w związku z tym pytanie brzmi: gdzie jest błąd w moim rozumowaniu? Może nie mogę użyć tego twierdzenia albo źle je interpretuję?

[Qń]

Twoje rozumowanie jest prawidłowe, a z odpowiedzi Wolframa wynika chyba, że on zakłada, że działamy w liczbach zespolonych, a nie rzeczywistych - a tam sinus nie jest ograniczony.

Q.