Całka podwójna

[MATol]

MAm problem , nie mam pojęcia w jaki sposób wyznaczyć obszar całkowania w tego typu całce \(\displaystyle{ \int\int(2x+3y) \mbox{d}x\mbox{d}y}\) gdzie D jest kołem\(\displaystyle{ x^2+y^2 \le 16}\) leżącym w pierwszej ćwiartce ukłądu współrzędnych

[Premislav]

Proponuję przejść na współrzędne biegunowe. Znasz je?

[rafmat24]

Jak Premislav zaproponował, współrzędne biegunowe.

Masz dane koło o środku w punkcie (0,0) i promieniu 4 (co wynika z równania okręgu).

Dalej, we współrzędnych biegunowych przekształcenie brzmi

\(\displaystyle{ x=r\cos(\phi)}\)
\(\displaystyle{ y=r\sin(\phi)}\)

takie przekształcenie obszaru całkowania z koła da ci prostokąt:

\(\displaystyle{ D = \begin{cases} 0 \le r \le 4\\0 \le \phi \le 2 \pi \end{cases}}\)

w ten sposob otrzymasz calke podwojna po obszarze delta
\(\displaystyle{ \int \int (2(r\cos(\phi)) + 3(r\sin(\phi)))rdrd\phi}\)

[kalwi]

kąt oczywiście jest z przedziału \(\displaystyle{ 0\le \varphi \le \frac{\pi}{4}}\)

[MATol]

a nie czasem z \(\displaystyle{ 0\le \varphi \le \frac{\pi}{2}}\)?

[kalwi]

no jak pierwsza ćwiartka to \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\). Nie wiem czemu napisałem 4 w mianowniku.

[MATol]

Tylko jest lekki problemik coś nie wychodzi.. \(\displaystyle{ \int \int (2(r\cos(\phi)) + 3(r\sin(\phi)))rdrd\phi}\) po policzeniu tej całki wyszła mi \(\displaystyle{ \int 2r^{2}+
3r^{2}}\) .. wynik to 40 , a mi wyszło \(\displaystyle{ \frac{320}{3}}\)..

[kalwi]

błąd w odpowiedzi. Klasycznie też wychodzi taki wynik.

[MATol]

W tej książce co drugie zadanie to błąd .. za co ja płace...-- 28 maja 2014, o 00:23 --To może tak przy okazji całek po kole.. mam jeszcze jeden cudowny przykład a mianowicie :\(\displaystyle{ \int\int(xy) \mbox{d}x\mbox{d}y}\) gdzie obszar \(\displaystyle{ 1 \le x^{2}+ y^{2} \le 4}\) jak wyznaczyć w tym przypadku obszar?