Podwójna Całka

[MATol]

\(\displaystyle{ \int\int \left( \sin x\cos \left( 2y+x \right) \right) \mbox{d}x\mbox{d}y}\) gdzie \(\displaystyle{ D}\) jest trójkątem ograniczonym prostymi \(\displaystyle{ x=0, y=0, x+y= \frac{\pi}{4}}\) . Wynik wciąż wychodzi mi źle : obszar całkowania wyznaczyłam jako \(\displaystyle{ 0\le x\le\frac{\pi}{4}}\) , a \(\displaystyle{ 0\le y\le\frac{\pi}{4}-x}\) . Pierwsza całka wyszła mi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\sin \left( x \right) \sin \left( 2y+x \right)}\) potem skorzystałam z tożsamości trygonometrycznej i zwykłego podstawienia... w efekcie otrzymałam \(\displaystyle{ -\frac{1}{12} \sin \left( \frac{\pi}{2}-3x \right) +\frac14\sin \left( \frac{\pi}{2}-x \right)}\) po podstawieniu wynik się nie zgadza... Proszę o pomoc.. sesja niedługo

[pyzol]

Musiałabyś więcej rachunków pokazać.
Na razie mamy takie coś:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\sin \left( x \right) \sin \left( 2y+x \right)|_{y=0}^{y=\frac{\pi}{4}-x}=\\
\frac{1}{2}\sin x \sin \left(\frac{\pi}{2}-x \right)-\frac{1}{2}\sin^2 x=\frac{1}{4}\sin 2x -\frac{1}{2}\sin^2 x}\)
Teraz należałoby zamienić \(\displaystyle{ \sin^2 x}\):]
\(\displaystyle{ \cos 2 x=1-2\sin^2 x\\
\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}}\)
I tu pojawia się stała. Po całkowaniu:
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{4}\sin 2x -\frac{1-\cos 2 x}{4}\dd x}\)
prócz funkcji trygonometrycznych, pojawi Ci się \(\displaystyle{ \frac{x}{4}}\), którego u Ciebie nie widzę.

[MATol]

Już wiem jaki błąd popełniłam , ale nie rozumiem \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\sin x\sin \left( \frac{\pi}{4}-x \right)= \frac{1}{4}\sin 2x}\) z jakiej tożsamości to wynika?

[pyzol]

Nie \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\) tylko \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\).
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\sin x\sin \left( \frac{\pi}{2}-x \right)=\frac{1}{2}\sin x\cos x}\)

[MATol]

Z całki która podajesz wychodzi wynik \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{16} + \frac{1}{8}}\) , a poprawny wynik powinien wyjść \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{16} + \frac{1}{4}}\) .. nie wiem już co może być źle.

[pyzol]

Wychodzi poprawny. Raz masz \(\displaystyle{ =\frac{1}{8}}\) z sinusa, a drugim razem z cosinusa.Podstawiałaś obie granice całkowania, czy tylko dla \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\)?

[MATol]

Faktycznie , zapomniałam o tym : ) Dziękuję bardzo za pomoc !