Wyznaczyć różniczkę zewnętrzną formy różniczkowej

[Jacek_fizyk]

Jak bedzie różniczka zewnętrzna formy różniczkowej \(\displaystyle{ \omega=dx\wedge dy\in\Omega^{2}(\mathbb{R}^{2})}\) czy bedzie to 0?

[yorgin]

Na to wygląda, że tak.

Współczynnik jest stały, więc jego pochodna się trywializuje, a więc i pochodna zewnętrzna formy.

[Jacek_fizyk]

dzieki, tez myslalem, zeby to zapisac tak

\(\displaystyle{ \omega=1dx\wedge1dy}\)

wtedy

\(\displaystyle{ d\omega=\frac{\partial 1}{\partial x}dx\wedge dy\wedge dx+\frac{\partial 1}{\partial y}dy\wedge dx\wedge dy=0}\)

[yorgin]

\(\displaystyle{ \omega=1dx\wedge1dy}\)

Taki zapis to przerost formy nad treścią. To jest po prostu \(\displaystyle{ 1\cdot \dd x\wedge \dd y}\) i to jest równe z definicji \(\displaystyle{ 1\dd x\wedge 1\dd y}\).

Zadanie można też zrobić bez rachunków. Różniczka 2-fromy powinna być 3-formą. Ale przestrzeń 3-form nad dwuwymiarową przestrzenią jest trywialna, więc różniczka musi być zerowa.

[Jacek_fizyk]

tez, prawda, dzieki za sprawdzenie i komentarz.