Całka funkcji stowarzyszonej do wielomianu Czebyszewa

[yorgin]

Zmagam się z całką

\(\displaystyle{ q_n(x)=\int_{-1}^1 \frac{T_n(s)\dd s}{\sqrt{1-s^2}(s-x)}}\)

i szczerze powiedziawszy nie widzę, jak to sensownie policzyć. Spodziewam się, że można otrzymać tutaj rekurencję, ale i to jest dość odległe od moich rachunków.

Poza liczeniem wprost przychodzi mi głupie rozwiązanie typu policzyć \(\displaystyle{ q_0}\) oraz \(\displaystyle{ q_1}\) i skorzystać z rekurencji

\(\displaystyle{ 2xq_n=q_{n+1}(x)+q_{n-1}(x)}\)

Jakieś pomysły do liczenia wprost? A może druga ze wspomnianych przeze mnie metod to jedyna sensowna rzecz, jaką można z tym zrobić?

[Kamil_B]

Ta całka to bodaj \(\displaystyle{ \pi U_{n-1}(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ U_n(x)}\) jes n-tym wielomianem Czebyszewa II rodzaju (\(\displaystyle{ n=1,2,...}\)).
Zobacz np. I.S. Gradshteyn and I.M. Ryzhik Table of Integrals, Series, and Products, Seventh Edition(str. 800) albo Erdelyi, A. et al., Tables of Integral Transforms, vol. II. McGraw Hill, New York, 1954 (str. 187, wzór 48).

[yorgin]

Wolałbym jednak rozwiązanie nieodwołujące się do źródła książkowego. Jesli istotnie całka jest proporcjonalna do \(\displaystyle{ U_n}\), to policzenie dwóch pierwszych, tj \(\displaystyle{ q_0}\) oraz \(\displaystyle{ q_1}\) wystarczy do stwierdzenia, ze \(\displaystyle{ q_n=c_nU_n}\) gdzie \(\displaystyle{ c_n}\) jest pewną stałą.