całka z 2-formy po rozmaitości

[Jacek_fizyk]

Niech \(\displaystyle{ M}\) bedzie orientowalna podrozmaitoscia \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{n}}\) o wymiarze \(\displaystyle{ k}\), niech\(\displaystyle{ \omega}\) bedzie \(\displaystyle{ k}\)-forma na \(\displaystyle{ M}\).

1) Podac definicje \(\displaystyle{ \displaystyle\int_{M}\omega}\)

2) niech \(\displaystyle{ M:=\{x\in\mathbb{R}^{3}\;|x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1\;\;\text{and}\;x_{i}>0,\;i=1,2,3\}}\). Obliczyc:

\(\displaystyle{ \displaystyle\int_{M}dx_{3}\wedge dx_{2}}\)

Rozwiazanie

\(\displaystyle{ \begin{cases}x_{2}=\sin \theta\sin \varphi\\x_{3}=\cos \theta\end{cases}\;}\) gdzie\(\displaystyle{ \;\theta\in[0,\frac{\pi}{2}]}\) oraz \(\displaystyle{ \varphi\in[0,\frac{\pi}{2}]}\) i \(\displaystyle{ M}\) gorna cwiartka sfery jednostkowej \(\displaystyle{ S^{2}}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{3}}\). Rozniczki sa takie

\(\displaystyle{ dx_{2}=\sin \theta\sin \varphi d\theta+\sin \theta\cos \varphi d\varphi}\)

\(\displaystyle{ dx_{3}=-\sin \theta d\theta}\)

\(\displaystyle{ dx_{3}\wedge dx_{2}=-\sin ^2 \theta\cos \varphi d\theta \wedge d\varphi}\)

czyli

\(\displaystyle{ \displaystyle\int_{S^{2}}dx_{3}\wedge dx_{2}=-\displaystyle\int_{S^{2}}\sin ^2 \theta\cos \varphi d\theta \wedge d\varphi=-\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin ^2 \theta\cos \varphi d\theta d\varphi=-\underbrace{\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin ^2 \theta d\theta}_{=\frac{\pi}{4}} \underbrace{\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos \varphi d\varphi}_{=1}=-\frac{\pi}{4}}\)

czy to jest dobrze?

Jaka jest formalna definicja calki w 1)?

Dzieki

[yorgin]

Wykładu ze sobą nie mam, ale wzór na wygląda na ten właściwy.

\(\displaystyle{ dx_{2}=\sin\theta\sin\varphi d\theta+\sin\theta\cos\varphi d\varphi}\)

Tutaj jest źle różniczka policzona. Ale nie wpływa to na dalsze obliczenia.

Poza tym nie widzę specjalnych błędów. W parametryzację wierzę na słowo, gdyż nigdy jej nie pamiętam

[Jacek_fizyk]

dzieki, za sprawdzenie