Szereg Maclaurina z definicji

[czeslaw]

Witam,
próbuję wyprowadzić wzór na rozwinięcie funkcji \(\displaystyle{ xe^{-2x}}\) w szereg Maclaurina. Korzystając ze znanego rozwinięcia funkcji \(\displaystyle{ e^x}\), potrafię otrzymać następujący rezultat:

\(\displaystyle{ e^x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \\ \frac{x}{e^{2x}} = \frac{x}{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2x)^n}{n!}}}\)

Natomiast z definicji wynika coś zupełnie innego - liczymy kolejne pochodne funkcji:
\(\displaystyle{ f(x) = xe^{-2x}\\
f^{1}(x) = e^{-2x} -2xe^{-2x}\\
f^{2}(x) = -4e^{-2x} +4xe^{-2x}\\
f^{3}(x) = 12e^{-2x} -8xe^{-2x}\\
f^{4}(x) = -32e^{-2x} +16xe^{-2x}\\
f^{5}(x) = 80e^{-2x} -32xe^{-2x}}\)

czyli:
\(\displaystyle{ f(0) = 0\\
f^{1}(0) = 1\\
f^{2}(0) = -4\\
f^{3}(0) = 12\\
f^{4}(0) = -32\\
f^{5}(0) = 80}\)

No i jakoś zupełnie nie oddaje to kształtu szeregu wyznaczonego wcześniej. Gdzie popełniam błąd?

[miodzio1988]

Zapisz to sobie jako \(\displaystyle{ xe^{-2x}}\) rozwiń \(\displaystyle{ e^{-2x}}\) i przemnoz wyraz po wyrazie przez \(\displaystyle{ x}\)

[czeslaw]

Rozwinięcie \(\displaystyle{ e^{-2x}}\) znam, nie jest to żadna tajemna wiedza. Problem dotyczy wykazania z definicji wzoru na szereg Maclaurina - czyli trzeba policzyć wartości pochodnych funkcji wyjściowej dla x=0. Powinny wyjść liczby 1,-2,4,-8,16,-32 itd. Wychodzi to co napisałem. Co sknociłem?

[Dasio11]

\(\displaystyle{ { x \cdot e^{-2x} = x \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ (-2x)^n }{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^n}{n!} \cdot x^{n+1} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-2)^{n-1}}{(n-1)!} \cdot x^n = \sum_{n=1}^{\infty} n \cdot (-2)^{n-1} \cdot \frac{x^n}{n!}. }}\)

Zatem

\(\displaystyle{ f^{(n)}(0) = n \cdot (-2)^{n-1}}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 1.}\)