Indukcja matematyczna

[olga523]

Witam mam zadanie do rozwiązania, najlepiej na jutro. Nie mogę poradzić sobie z dowodem
Udowodnić że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) jest prawdziwe równanie
\(\displaystyle{ 1 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 3^{2}+...+n(n+1)^{2}=\frac{1}{12}n(n+1)(n+2)(3n+5)}\)

[Kacperdev]

Jak przeprowadza się dowód indukcyjny?
Jakie są kolejne kroki?

[olga523]

Składa się on z dwóch części:

- najpierw sprawdzamy czy teza którą chcemy dowieść jest prawdziwa dla liczby \(\displaystyle{ n_{0}}\)

- jeżeli tak to przyjmujemy że teza jest także prawdziwa dla pewnej liczby \(\displaystyle{ k \geq n_{0}}\) i na tej podstawie dowodzimy, że teza jest prawdziwa również dla liczby\(\displaystyle{ k+1}\) (czyli następnej liczby po k).

[Kacperdev]

No to w czym problem.
Pierwszą część od razu widać. Pokaż co nie wychodzi drugim krokiem.

[henryk pawlowski]

Sprawdzasz prawdziwość twierdzenia dla najmnieszej liczby naturalnej(krok pierwszy) a następnie (krok drugi)wykazujesz,że dla każdej liczby naturalnej n, nie mniejszej od tej najmniejszej(z pierwszego kroku) z prawdziwości tego twierdzenia dla n wynika jego prawdziwość dla n+1.
Czasem warto, sprawdzając prawdziwość tego twierdzenia dla najmniejszej liczby naturalnej(szczególnie wtedy,gdy jest to oczywiste!)pokazać ,że z prawdziwości tego twierdzenia dla tej liczby wynika jego prawdziwość dla kolejnej ,bo często występujący tu motyw,przenosi się w rozumowaniu ogólnym(tym drugim kroku,o którym pisałem wyżej).

[olga523]

\(\displaystyle{ 1 \cdot 2^{2}+2 \cdot 3^{2}+ \ldots+n(n+1)^{2}+(n+1)(n+2)^{2}=\frac{1}{12}(n+1)(n+2)(n+3)(3n+8)}\)
następnie
\(\displaystyle{ 1 \cdot 2^{2}+2 \cdot 3^{2}+ \ldots+n(n+1)^{2}+(n+1)(n+2)^{2}=\frac{1}{12}n(n+1)(n+2)(3n+5)+ \ldots}\)
i jak dobrze myślę
\(\displaystyle{ +(n+1)(n+2)^{2}}\)
ale nie wiem jak to rozpisać żeby ładnie my wynik wyszedł.

[Mathix]

\(\displaystyle{ 1 \cdot 2^{2}+2 \cdot 3^{2}+ \ldots+n(n+1)^{2}+(n+1)(n+2)^{2}=\frac{1}{12}n(n+1)(n+2)(3n+5)+ +(n+1)(n+2)^{2}}\)
Rozpiszę prawą stronę:
\(\displaystyle{ \frac{1}{12}n(n+1)(n+2)(3n+5)+(n+1)(n+2)^{2}=(n+1)(n+2)[\frac{1}{12}n(3n+5)+n+2]=\frac{1}{12}(n+1)(n+2)(3n^2+5n+12n+24)=\frac{1}{12}(n+1)(n+2)(3n^2+17n+24)=\frac{1}{12}(n+1)(n+2)(n+3)(3n+8)}\)
cnd.

Czynnik \(\displaystyle{ (3n^2+17n+24)}\) można oczywiście rozpisać licząc \(\displaystyle{ \Delta}\)-ę, itd.