Sprowadzenie do zm. rozdzielonych p. podstawienie

[KubaJBSK]

Witam,
Kolejny temat, kolejne problemy

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=2x-4y+6}\)

\(\displaystyle{ t=2x-4y+6}\)

\(\displaystyle{ -4y=t-2x-6}\)

\(\displaystyle{ y=\frac{t-2x-6}{-4}}\)

\(\displaystyle{ y=-\frac{1}{4}t+\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}}\)

\(\displaystyle{ y'=-\frac{1}{4}t'+\frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ t=-\frac{1}{4}t'+\frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ 2t=-\frac{1}{2}t'}\)

\(\displaystyle{ t'=-4t}\)

\(\displaystyle{ \frac{dt}{dx}=-4t}\)

\(\displaystyle{ dx=\frac{dt}{-4t}}\)

\(\displaystyle{ x+C=-\frac{1}{4}\ln\left| 2x-4y+6\right|}\)

\(\displaystyle{ -4x+C=\ln\left| 2x-4y+6\right|}\)

\(\displaystyle{ Ce^{-4x}=2x-4y+6}\)

\(\displaystyle{ -4y=Ce^{-4x}-2x-6}\)

\(\displaystyle{ y=\frac{Ce^{-4x}}{-4}+\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}}\)

Niestety odpowiedź jest taka:
\(\displaystyle{ y=Ce^{-4x}+\frac{11}{8}+\frac{1}{2}x}\)


Próbowałem znaleźć błąd ale mi się nie udało, proszę o pomoc

[Mariusz M]

Źle rozdzieliłeś zmienne po podstawieniu

[KubaJBSK]

Czy mógłbyś wskazać precyzyjnie w którym miejscu? Dalej tego nie widzę

[Igor V]

Tu:

\(\displaystyle{ t=-\frac{1}{4}t'+\frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ 2t=-\frac{1}{2}t'}\)

\(\displaystyle{ t'=-4t}\)

Jedynkę gdzieś zjadłeś

[KubaJBSK]

Poprawiłem ale dalej wynik się nie zgadza:
\(\displaystyle{ 2t=-\frac{1}{2}t'+1}\)

\(\displaystyle{ t'=-4t+2}\)

\(\displaystyle{ \frac{dt}{dx}=-4t+2}\)

\(\displaystyle{ \frac{dt}{-4t+2}=dx}\)

\(\displaystyle{ \ln{\left( -4\left( 2x-4y+6\right)+2\right) }=x+C}\)

\(\displaystyle{ -8x+16y-22=Ce^x}\)

\(\displaystyle{ 16y=Ce^x+8x+22}\)

\(\displaystyle{ y=\frac{1}{16}Ce^x+\frac{1}{2}x+\frac{11}{8}}\)

Dalej gdzieś zrobiłem błąd ponieważ prawidłowy wynik to:
\(\displaystyle{ y=Ce^{-4x}+\frac{11}{8}+\frac{1}{2}x}\)

[kerajs]

\(\displaystyle{ \frac{dt}{-4t+2}=dx}\)

\(\displaystyle{ \ln{\left( -4\left( 2x-4y+6\right)+2\right) }=x+C}\)

To przejście jest nieprawidłowe:
\(\displaystyle{ \frac{dt}{-4t+2}=dx}\)
\(\displaystyle{ \frac{dt}{t- \frac{1}{2}} =-4dx}\)
\(\displaystyle{ \ln \left|t- \frac{1}{2} \right| =-4x+C}\)
\(\displaystyle{ \ln \left|t- \frac{1}{2} \right| =\ln e ^{-4x} +\ln C}\)
\(\displaystyle{ \ln \left|t- \frac{1}{2} \right| =\ln Ce ^{-4x}}\)
\(\displaystyle{ t- \frac{1}{2}=Ce ^{-4x}}\)
\(\displaystyle{ 2x-4y+6- \frac{1}{2}=Ce ^{-4x}}\)
\(\displaystyle{ 4y=2x+ \frac{11}{2}-Ce ^{-4x}}\)
\(\displaystyle{ y= \frac{1}{2} x+ \frac{11}{8}- \frac{1}{2}Ce ^{-4x}}\)
\(\displaystyle{ y= \frac{x}{2} + \frac{11}{8}+Ce ^{-4x}}\)

[KubaJBSK]

Kolejny przykład:

\(\displaystyle{ 3x-y+\left( 6x-2y+1\right)y'=0}\)

\(\displaystyle{ 3x-y+\left(2\left( 3x-y\right)+1\right)y'=0}\)

\(\displaystyle{ t=3x-y}\)

\(\displaystyle{ -y=t-3x}\)

\(\displaystyle{ y=-t+3x}\)

\(\displaystyle{ y'=-t'+3}\)

\(\displaystyle{ t+\left( 2t+1\right)\left( -t'+3\right)=0}\)

\(\displaystyle{ t+\left( 2t+1\right) \left( -\frac{dt}{dx}+3\right)=0}\)

\(\displaystyle{ t-2t\frac{dt}{dx}+6t-\frac{dt}{dx}+3=0}\)

\(\displaystyle{ 7t+3-\frac{dt}{dx}\left( 2t-1\right)=0}\)

\(\displaystyle{ -\frac{dt}{dx}\left( 2t-1\right)=-7t-3}\)

\(\displaystyle{ \frac{dt}{dx}=\frac{7t+3}{2t-1}}\)

\(\displaystyle{ \frac{2t-1}{7t+3}dt=dx}\)

No to po lewej dzielimy wielomian i wychodzi z dzielenia \(\displaystyle{ \frac{2}{7}}\) i reszty \(\displaystyle{ -\frac{13}{7}}\).

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{2}{7}dt-\frac{13}{7}\int_{}^{}\frac{1}{7t+3}dt=x+C}\)

\(\displaystyle{ \frac{2}{7}t-\frac{13}{49}\ln{\left| 7t+3\right|}=x+C}\)

\(\displaystyle{ \frac{2}{7}\left( 3x-y\right) -\frac{13}{49}\ln{\left| 7\left( 3x-y\right) +3\right|}=x+C}\)

Prawidłowa odp:

\(\displaystyle{ \frac{1}{49}\left(14\left( 3x-y\right)+\ln\left|7\left( 3x-y\right) +3 \right|+6 \right) =x+C}\)

Skąd ta \(\displaystyle{ 6}\) się bierze za \(\displaystyle{ \ln}\) i skąd to \(\displaystyle{ 14}\) na początku?

-- 20 maja 2014, o 16:58 --

Jak to zadanie trzeba zacząć? Co tu trzeba wykonać z nawiasem?
\(\displaystyle{ 2x+3y-1+\left( 4x+6y-5\right)y'=0}\)

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ u=4x+6y-5\\
2x+3y-1=\frac{1}{2}\left( u+4\right)\\
u^{\prime}=4+6y^{\prime}\\
y^{\prime}= \frac{1}{6}\left( u^{\prime}-4\right)\\
\frac{1}{2}\left( u+4\right)+ u\frac{1}{6}\left( u^{\prime}-4\right)=0\\
3u+12+uu^{\prime}-4u=0\\
uu^{\prime}-u+12=0\\
uu^{\prime}=u-12\\
\frac{u}{u-12} \mbox{d}u= \mbox{d}x \\}\)

[kerajs]

Kolejny przykład:

\(\displaystyle{ 3x-y+\left( 6x-2y+1\right)y'=0}\)

\(\displaystyle{ 3x-y+\left(2\left( 3x-y\right)+1\right)y'=0}\)

\(\displaystyle{ t=3x-y}\)

\(\displaystyle{ -y=t-3x}\)

\(\displaystyle{ y=-t+3x}\)

\(\displaystyle{ y'=-t'+3}\)

\(\displaystyle{ t+\left( 2t+1\right)\left( -t'+3\right)=0}\)

\(\displaystyle{ t+\left( 2t+1\right) \left( -\frac{dt}{dx}+3\right)=0}\)

\(\displaystyle{ t-2t\frac{dt}{dx}+6t-\frac{dt}{dx}+3=0}\)

\(\displaystyle{ 7t+3-\frac{dt}{dx}\left( 2t{\red +}1\right)=0}\)

I inny wynik jest konsekwencją znienienia znaku w równaniu

Ps. Kolejne równanie/problem napisz w nowym wątkui