Witam, mam taki obszar
\(\displaystyle{ 0 \le y \le 1\\
0 \le x \le \sqrt{1-y^2}\\
0 \le z \le \sqrt{1-x^2-y^2}}\)
Narysowałem ten obszar w układzie współrzędnych i teraz muszę obliczyć całkę korzystając z twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa i wygląda ona tak:
\(\displaystyle{ \iiint\limits_{V}(y^2+x^2+z^2)dxdydz}\)
Wydaje mi się, że muszę przejść na współrzędne sferyczne ale nie mam pomysłu jak to zrobić.
Twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8708
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 335 razy
- Pomógł: 3431 razy
Twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa
Współrzędne sferyczne:
\(\displaystyle{ x=R \cos \alpha \cos \beta}\)
\(\displaystyle{ y=R \sin \alpha \cos \beta}\)
\(\displaystyle{ z=R \sin \beta}\)
\(\displaystyle{ J=R ^{2} \cos \beta}\)
A obszar:
\(\displaystyle{ 0 \le R \le 1}\)
\(\displaystyle{ 0 \le \alpha \le \pi}\)
\(\displaystyle{ 0 \le \beta \le \frac{ \pi }{2}}\)
\(\displaystyle{ V= \int_{0}^{ \frac{ \pi }{2} } \left( \int_{0}^{ \pi }\left( \int_{0}^{1}\left( R ^{2} \cos^{2} \alpha \cos^{2}\beta+R^{2} \sin ^{2} \alpha \cos^{2} \beta+R^{2} \sin^{2} \beta \right) R ^{2} \cos \beta \mbox{d}R \right) \mbox{d} \alpha \right) \mbox{d} \beta =\int_{0}^{ \frac{ \pi }{2} } \left( \int_{0}^{ \pi }\left( \int_{0}^{1} R ^{4} \cos \beta \mbox{d}R \right) \mbox{d} \alpha \right) \mbox{d} \beta= \int_{0}^{ \frac{ \pi }{2} } \left( \int_{0}^{ \pi } \frac{1}{5} \cos \beta \mbox{d} \alpha \right) \mbox{d} \beta= \int_{0}^{ \frac{ \pi }{2} } \frac{1}{5} \pi \cos \beta \mbox{d} \beta=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{1}{5} \pi}\)
\(\displaystyle{ x=R \cos \alpha \cos \beta}\)
\(\displaystyle{ y=R \sin \alpha \cos \beta}\)
\(\displaystyle{ z=R \sin \beta}\)
\(\displaystyle{ J=R ^{2} \cos \beta}\)
A obszar:
\(\displaystyle{ 0 \le R \le 1}\)
\(\displaystyle{ 0 \le \alpha \le \pi}\)
\(\displaystyle{ 0 \le \beta \le \frac{ \pi }{2}}\)
\(\displaystyle{ V= \int_{0}^{ \frac{ \pi }{2} } \left( \int_{0}^{ \pi }\left( \int_{0}^{1}\left( R ^{2} \cos^{2} \alpha \cos^{2}\beta+R^{2} \sin ^{2} \alpha \cos^{2} \beta+R^{2} \sin^{2} \beta \right) R ^{2} \cos \beta \mbox{d}R \right) \mbox{d} \alpha \right) \mbox{d} \beta =\int_{0}^{ \frac{ \pi }{2} } \left( \int_{0}^{ \pi }\left( \int_{0}^{1} R ^{4} \cos \beta \mbox{d}R \right) \mbox{d} \alpha \right) \mbox{d} \beta= \int_{0}^{ \frac{ \pi }{2} } \left( \int_{0}^{ \pi } \frac{1}{5} \cos \beta \mbox{d} \alpha \right) \mbox{d} \beta= \int_{0}^{ \frac{ \pi }{2} } \frac{1}{5} \pi \cos \beta \mbox{d} \beta=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{1}{5} \pi}\)