liniowosc różniczki zewnętrznej formy

[Jacek_fizyk]

majac dwie formy rozniczkowe
\(\displaystyle{ \omega:=\displaystyle\sum_{i_{1}<...<i_{k}}\omega_{i_{1},...,i_{k}}dx^{i_{1}}\wedge...\wedge dx^{i_{k}}}\) wowczas \(\displaystyle{ d\omega=\displaystyle\sum_{i_{1}<...<i_{k}}d\omega_{i_{1},...,i_{k}}\wedge dx^{i_{1}}\wedge...\wedge dx^{i_{k}}}\)

\(\displaystyle{ \eta:=\displaystyle\sum_{j_{1}<...<j_{l}}\eta_{j_{1},...,j_{l}}dx^{j_{1}}\wedge...\wedge dx^{j_{l}}}\) wowczas \(\displaystyle{ d\eta=\displaystyle\sum_{j_{1}<...<j_{l}}d\eta_{j_{1},...,i_{l}}\wedge dx^{j_{1}}\wedge...\wedge dx^{j_{l}}}\)

nie wiem jak pokazac, ze rozniczka zewnetrzna jest liniowa, i.e
\(\displaystyle{ d(\omega+\eta)=d\omega+d\eta}\)

[yorgin]

Zapisz za pomocą pojedynczej sumy \(\displaystyle{ \omega+\eta}\), skorzystaj z definicji pochodnej i potem rozdziel sumę na dwie. Można też powołać się na liniowość różniczki zupełnej \(\displaystyle{ \dd \omega_{i_1,\ldots,i_k}}\). W zasadzie dowód jest niemal "oczywisty".