Witam. Pomoze mi ktos w rozwiazaniu tego równania metodą przewidywań, próbuję na różne sposoby i nic z tego. Byłbym bardzo wdzięczny gdyby ktoś napisał przewidywaną postać rozwiązania szczególnego i samą odpowiedź. Z góry dziękuje
\(\displaystyle{ y''-2y=4x ^{2}e ^{2x}}\)
Równanie II Rzędu
Równanie II Rzędu
No właśnie tak przewidziałem te równanie i wychodzi całkiem inaczej niż w odpowiedzi. Odpowiedź to:
\(\displaystyle{ y=e ^{x ^{2} }+C _{1}e ^{x \sqrt{2} }+C _{2}e ^{-x \sqrt{2} }}\)
\(\displaystyle{ y=e ^{x ^{2} }+C _{1}e ^{x \sqrt{2} }+C _{2}e ^{-x \sqrt{2} }}\)
-
machacz
- Użytkownik
- Posty: 31
- Rejestracja: 3 wrz 2009, o 12:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 15 razy
Równanie II Rzędu
Hmm... Proszę mnie nie bić bo człowiek uczy się na błędach, które warto mu czasem delikatnie wskazać.
\(\displaystyle{ y''-2y=0}\) RJ
podstawiam: \(\displaystyle{ y=e^{tx}, \ \ y' = te^{tx}, \ \ y'' = t^2e^{tx}}\)
\(\displaystyle{ (t-2)(t+2)=0}\)
\(\displaystyle{ y=C_1e^{2x} + C_2e^{-2x}}\) CORJ
Ponieważ prawa strona RN jest postaci (wielomian stopnia III) razy exponenta(2x) to przewiduję jak napisał kolega, i dostaję:
\(\displaystyle{ y=(ax^2 + bx + c)e^{2x} \\
\\
y'=(2ax^2+(a+b)x + b + c)e^{2x}\\
\\
y''=(4ax^2 + 4(2a+b)x + 2a + 3b + c)e^{2x}}\)
Wypodstawianie do RN daje w wyniku porównania wielomianów następujące wartości stałych a, b, c:
\(\displaystyle{ a=2 \\
b=-8\\
c=-20}\)
Ostatecznie:
\(\displaystyle{ y=C_1e^{2x} + C_2e^{-2x} + (2x^2 -8x-20)e^{2x}}\)
PS można zapytać autora skąd to zadanie??
\(\displaystyle{ y''-2y=0}\) RJ
podstawiam: \(\displaystyle{ y=e^{tx}, \ \ y' = te^{tx}, \ \ y'' = t^2e^{tx}}\)
\(\displaystyle{ (t-2)(t+2)=0}\)
\(\displaystyle{ y=C_1e^{2x} + C_2e^{-2x}}\) CORJ
Ponieważ prawa strona RN jest postaci (wielomian stopnia III) razy exponenta(2x) to przewiduję jak napisał kolega, i dostaję:
\(\displaystyle{ y=(ax^2 + bx + c)e^{2x} \\
\\
y'=(2ax^2+(a+b)x + b + c)e^{2x}\\
\\
y''=(4ax^2 + 4(2a+b)x + 2a + 3b + c)e^{2x}}\)
Wypodstawianie do RN daje w wyniku porównania wielomianów następujące wartości stałych a, b, c:
\(\displaystyle{ a=2 \\
b=-8\\
c=-20}\)
Ostatecznie:
\(\displaystyle{ y=C_1e^{2x} + C_2e^{-2x} + (2x^2 -8x-20)e^{2x}}\)
PS można zapytać autora skąd to zadanie??
-
pogrzex
- Użytkownik
- Posty: 53
- Rejestracja: 4 lut 2009, o 12:32
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 1 raz
Równanie II Rzędu
@machacz tu masz chyba błąd:
\(\displaystyle{ (t-2)(t+2)=0}\)
\(\displaystyle{ y=C_1e^{2x} + C_2e^{-2x}}\) CORJ
Chyba powinno być tak:
\(\displaystyle{ y=C_1e^{ \sqrt{2} x} + C_2e^{- \sqrt{2} x}}\)
Więc CORJ zgadza się z tą co jest w odpowiedziach. Zostaje nieszczęsne \(\displaystyle{ e^{x^{2}}}\) które według mnie nie może wyjść metodą przewidywania. Na razie nie mam czasu, ale spróbuj zrobić to uzmiennianiem stałej, ale wydaje mi się właśnie, że to jedno z tych równań, w których przewidywanie się nie sprawdzi.
\(\displaystyle{ (t-2)(t+2)=0}\)
\(\displaystyle{ y=C_1e^{2x} + C_2e^{-2x}}\) CORJ
Chyba powinno być tak:
\(\displaystyle{ y=C_1e^{ \sqrt{2} x} + C_2e^{- \sqrt{2} x}}\)
Więc CORJ zgadza się z tą co jest w odpowiedziach. Zostaje nieszczęsne \(\displaystyle{ e^{x^{2}}}\) które według mnie nie może wyjść metodą przewidywania. Na razie nie mam czasu, ale spróbuj zrobić to uzmiennianiem stałej, ale wydaje mi się właśnie, że to jedno z tych równań, w których przewidywanie się nie sprawdzi.
Równanie II Rzędu
No własnie całkiem nie pasuje CSRN \(\displaystyle{ e ^{x ^{2} }}\). Zadanie to jest z książki Analiza matematyczna w zadaniach część II Krysicki, Włodarski.